ラグランジュ方程式

(サイエンス)

【らぐらんじゅほうていしき】

方程式の形

ラグランジアン $L$ を次の式によって定義する。
$L(q_i,\dot{q_i},t)=T-U$
ただし、 $T$ は運動エネルギー、 $U$ はポテンシャル(位置エネルギー)である。また、ラグランジアン $L$ は一般化座標 $q_i$ とその時間微分 $\dot{q_i}$ と時間の関数で書かれなければならない。(つまり、運動量 $p$ などを含まない。)

このラグランジアン $L$ を用いて、ラグランジュ方程式は次のように書かれる。

$\frac{d}{dt}(\frac{\partial L}{\partial\dot{q_i}})-\frac{\partial L}{\partial{q_i}}=0$

方程式の有用性

この方程式が意味するところは、ニュートンの運動方程式と同じである。しかし、この方程式は非常に有用性の高い方程式である。というのも、一般化座標で成り立つからである。

運動方程式は次の式で与えられる。
$m\vec{a}=\vec{F}$
これを平面極座標の各成分の方向に力を分けて考えると考えやすい場合(ここでは放射方向のみに力が働く( $F_\theta=0$ )場合を考える)は、わざわざ2次元直線直交座標(デカルト座標)で考えるよりも、素直に平面極座標を用いた方が方程式を1つ解くだけで解が求まるため便利である。

つまり、
$ma_x=F_x$ (1)
$ma_y=F_y$ (2)
この2つの方程式(1),(2)を解くより、
$ma_r=F_r$ (3)
$ma_{\theta}=F_\theta=0$ (4)
として、(4)の方程式の解 $a_{\theta} = 0$ は明らかなので、実質1つの方程式(3)を解くだけでよいから、労力が少なくて済む。

ところが、(3)を解くにあたって、この方程式に含まれる $a_r$ の形を考えなければならないが、これは $a_r=\ddot{r}-r \dot{\theta}^2$ と複雑な形をしている。都合のいい座標系に対して、加速度の形が分かっているわけではない上に、複雑な形をしているため、この方程式を解くのは非常に面倒である。