グリーン関数

グリーン関数

(サイエンス)
ぐりーんかんすう

Green's function。物理学等で微分方程式を解くときに、非常に頻繁に使用される関数。定義は後述。
グリーン関数を使用する微分方程式の解法を「グリーン関数法」と呼ぶ。名前はイギリスの数学者ジョージ・グリーン (George Green) に由来する。

グリーン関数の定義

L を変数(1つとは限らない) x に関する線形微分作用素とする。このとき、L のグリーン関数 G(x;x')
LG(x;x')=\delta(x-x')
で定義される。ここで、\delta(x) はディラックのデルタ関数である。

微分方程式の解

微分方程式
Lf(x)=g(x) (※)
を考える。
Lf(x)=0
の一般解を f(x)=f_0(x) と書くと、(※)の解は
f(x)=f_0(x)+\int_a^bdx'G(x,x')g(x')
で与えられる。

直感的イメージ

n\times n行列Aとn次元ベクトルの線形方程式 Ax=b を解くことを考える。i番目だけが1で残りが0のベクトルをe_iとし、Ax=e_iの解をg_iとする。g_i=A^{-1}e_i。このg_iをあらかじめ全部計算しておけば、Ax=b の解はbのi成分を係数にしてg_iを全部足せば出てくる。

遅延グリーン関数と先進グリーン関数

グリーン関数は境界条件などを変更することにより、様々な形を取る。一般に物理学において、時刻 t に関する微分方程式のグリーン関数 G(t;t') を考えるとき、tt'G(t;t')=0 となるものを「遅延グリーン関数」(retarded Green's function)、tt'G(t;t')=0 となるものを「先進グリーン関数」(advanced Green's function) と呼ぶ。

地震の研究にも使われる。時間t'に地盤の一点をガンと叩いたときに広がって行く地震波の振幅が遅延グリーン関数。これを過去の地震データから計算する。

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