全単射

概要 位相空間の同相写像(多様体の基礎)について概説する。 links 「多様体の基礎」 内容 定義(同相写像) を位相空間とする。 写像が次の条件(1)(2)を満たす時、fは同相写像(homeomorphism)であるという。 (1) は全単射である。 (2) もも、ともに連続写像である。 定義(位相同型) XとYの間に同相写像があるとき、XとYは互いに位相同形(homeomorphic)であるといい、 と書き表す。

概要 Cr級微分同相写像(多様体の基礎)について概説する。 links 「多様体の基礎」 内容 定義(級微分同相写像) U,Vをそれぞれ, の開集合とする。 写像が 級写像が次の条件(1)(2)を満たす時、fを級微分同相写像(Cr diffeomorphism)という。 (1) は全単射である。 (2) もも、ともに 級写像である。 定義(級微分同相) UとVの間に級微分同相写像 が存在するとき、UとVとは互いに級微分同相(Cr diffeomorphic)であるという。

概要 同相写像(多様体の基礎)について概説する。 links 「多様体の基礎」 内容 定義(同相写像) 写像が次の条件(1)(2)を満たす時、fは同相写像(homeomorphism)であるという。 (1) は全単射である。 (2) もも、ともに連続写像である。 定義(位相同型) UとVの間に同相写像があるとき、UとVは互いに位相同型(homeomorphic)であるといい、 と書き表す。

次を満たす実数の集合上の写像 $\psi:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ を考えます。 \begin{eqnarray} \psi(a) &=& \frac{1}{a}\ \ (a&\ne&0), \newline \psi(a) &=& a\ \ \ (a&=&0). \end{eqnarray} すなわち，$\psi(0)=0$ です。この $\psi$ は全単射または1対1写像と呼ばれます。この $\psi$ を使えば除算は乗算になります。 $$ \frac{a}{b}=a\cdot \psi(b)\ \ (b\ne0) \tag{3} $$ 次に，条件…

「代数学１群論入門」の第二章を読み終わり、理解の怪しいところもありますが、とりあえず忘れる前に概要を整理したいと思います。 群というのはある条件を満たした、集合 と 上で定義される演算 のペア のことで、ある条件とは①結合法則②逆元の存在③単位元の存在の３つです。集合における部分集合のように、群においては部分群が定義できます。 のような集合の つの元に対して定義される関係（関係の定義は省略）のうち、①反射律②対称律③推移律を満たすものを同値関係といいます。 を集合 上で定義される同値関係としたとき、 に対して を の同値類といいます。 の部分集合で に対して と表されるもの全体の集合を の に…

4/2(金) 晴れ 11時に起きた。12時だったかも。午後に飼い犬の注射のために出かける必要があったので院試を解くのはその後にした。その時間まではご飯を食べたり昨日できなかった完備化の同型を確かめたりしていた。同型のほうはわからないと悩んでいたけど改めて写像をしっかりかいて眺めていたらそれでもう全単射になっていることがわかった。 注射に行った後は院試を解いた。今回解いた年度のやつはガロア理論の問題がなくて一つよくわかんない群論の問題だったからその代わりにホモロジー群の問題を解いた。ホモロジー群の解答をどう書くか悩んだけど結局図とその間の同相性の根拠を書いて終わらせた。 その後は配信とか見ながら…

4/2(木) 晴れ 10時過ぎに起床。午前中に院試を解こうかと思ったけど途中でおなかすいちゃうと思ってご飯を食べるまではアフィノイド代数の完備テンソル積と代入写像について読んだ。Tate代数の極大イデアルを考えたくて、そのためにはlocal fieldsの一部をやっぱり読まないといけ無さそう。というのもやっぱり代数閉体へと係数拡大したくてそのためには付値を延長しないといけない。さらに完備テンソル積の方は拡張した位相を入れているからいつもの位相加群の完備化が出来なくて、別の定義をしていた。その当たりをまず確認しようとまたappendixに戻った。ただ、その拡張した位相による完備化がその位相を定め…

早解きの巻 A - Not coprime 互いに素でないということは、とに共通の素因数が存在するということと同値である。制約より、は最大でも以下の素数の積（およそ）にしかならない。さらに、以下の素数それぞれに対して「に含めるか」「含めないか」の2択を選ぶbit全探索をして全通り試してもも実行時間制限にも十分間に合う。 ちなみに以下の素数は個。素数リストを実行時に生成してもよかったが、ライブラリを引っ張り出してくるより暗記しているものを書き出したほうが早かった。計算量は、。 B - Special Subsets 全射の整数集合が与えられていて、その部分集合のうち全単射であるものはいくつあるか…

三井孝美の論文 https://www.jstage.jst.go.jp/article/jjm1924/26/0/26_0_1/_pdf や本 https://www.iwanami.co.jp/book/b265375.html に、イデアル数なる怪しい概念が出てきます。それの現代的な定式化をします。 三井が使っているイデアル数の概念はナゾなのでここでは説明しません。数体Kのイデアルたちを、数体の元の集合でパラメタ付けるために使われる概念です。けれども、とにかくナゾなので定式化し直されるべきものです。最終的には以下の概念と同値であることが確認できるはずです。 逆イデアルの元による、 イデア…

6:30起床、長めの距離をゆったり走ろうと思って大和の競技場に向かったが、整備日で開いてなかった。確認してないのが阿呆でした。往復4時間消えたのは教訓として相当の対価だった。 その後大学の同期と合流して緑ヶ丘の直線タータンで走った。こんなとこに走れる場所があるとは思わなかった、これはなかなか大きい収穫。コンクリートだとやりたくないバウンディングなんかもできるのはありがたい。この直線で4割くらいの流しを5本ほどやったが、調子自体は良く、思いっきり走ったら結構いいスピード出そうだなと思った。もちろん今そんなことしたらシーズン棒に振りかねないので、慎重にリハビリを続けていきたい。 昼食をとってから、…

次元の概念は思いのほか難しくて、あまり理解されてないのかも知れませんね。特に0次元が鬼門のようです。離散キューブという概念を導入する過程のなかで0次元の話をします。(-1)次元は、空集合に対する次元の候補です（空集合の次元は幾つかの考え方があります）。内容： 次元て何？ ユークリッド空間の次元 キューブの次元 格子点 0次元キューブ内の内部格子点 離散キューブ 空集合の次元 空集合の次元は -1 空集合の次元は -∞ 空集合の次元は不定 次元て何？次元て何？ に対して、位相幾何学で「次元論」なんてのがありますが、なんか難しい話で、我々が「次元論」で次元を理解しているとは思えません。おそらく、「…