全単射

皆さんこんにちは、おっくんです。 去る 2021 年 4 月 13 日に Deno 1.9 がリリースされました。 今回も、リリース内容の中から気になったものをピックアップして、紹介したいと思います。 実行環境 macOS Catalina 10.15.7 アップデートのやり方 今回は Deno 1.8.3 から Deno 1.9.2 へのアップデートを行います。 (既に 2021 年 4 月 23 日 に Deno 1.9.2 にアップデートされていました。) アップデートする Deno を導入した時のコマンドは以下の通りです。 curl -fsSL https://deno.land/x/…

「文学」を内面的な感受性、誠実性の世界と見る考えは、それ自体が一つの文学理論にほかなりません。

「エレファントな整数論(3)」で書いたような内容ですが、また書き直していきます。 全射・単射・有限集合 を集合、 を写像とします。任意の に対して ならば であるとき、 を単射と呼びます。任意の に対して となる が存在するとき、 を全射と呼びます。 が全射かつ単射であるとき全単射と呼びます。 が全単射であるとき、 は全射なので に対して となる が存在し、 は単射なのでこの は一意的となります。よって を と定義することができます。 ( の恒等写像)、 ( の恒等写像)となります。 を の逆写像と呼び と書きます。集合 に対して以下の条件(F1)が成り立つとき、 を有限集合と呼びます。有限集…

モジュラー曲線というのは、上半平面 を の合同部分群で割ったものとして定義されます。定義からは、明らかに複素解析的な対象に見えると思います。ところが、実はモジュラー曲線は数論的な対象でもあるのです。わかりやすい応用として、楕円曲線の位数有限な点に関する メイザーの定理 があります。定理（メイザーの定理） を 上の楕円曲線とする。このとき、 の位数有限の有理点の位数 は、 のいずれかである。これは楕円曲線の有理点の構造を決定するために大変有用な定理です。数論における大定理といってよいと思うのですが、この定理を証明するのにモジュラー曲線が用いられるのです。メイザーの定理の証明自体は私は理解できてい…

こんにちは。ひよこてんぷらです。 前回は の双対空間について少しお話しました。 sushitemple.hatenablog.jp 今回はその話の続きをやっていきたいと思います。 前回は具体的に何を示したのかというと、 有限な測度空間 に対して次の位相同型 \begin{equation} L^{\infty}(X,\mathcal{M},\mu)^* = ba(X,\mathcal{M},\mu) \end{equation} を示しました。ここで は に関して絶対連続であるような有界有限加法的な符号付き測度の空間です。 さて、今回はこれが より真に広いことを見ていきましょう。よく知られてい…

みなさんこんにちは。ひよこてんぷらです。いきなりですが、今回は の双対空間についてお話したいと思います。なんでこんなことを考えたのかはおいおい話すとして、さっそくやっていきましょう。今回の話はDunford-Schwartzの「Linear Operators PartI」のp.296あたりのことを紐解いていく感じです。 まずは を抽象的な集合とし、 を 上の完全加法族とします。さて、ここで有界有限加法的(bounded finitely additive)な符号付き測度 \begin{equation} \lambda : \mathcal{M} \to \mathbb{R} \end{eq…

バーンサイドの補題が競技プログラミング界隈で話題のようです。先日開催された ABC で出題されたからです。 atcoder.jp バーンサイドの補題については下記の opt さんの記事も参照してください。代数学の知識を仮定しない証明が載っています。 opt-cp.com この記事の目標は、バーンサイドの補題を表現論を用いて証明することです。最近表現論を勉強しているので、そのアウトプットを兼ねています。 追記:HackMD 上でも公開しました。はてなブログ上で数式が壊れる場合はこちらでご覧ください。

一般論としての次の補題1の証明について考える。 [補題1](注1)(注2） 体K1と体K2が同型であり、その同型写像をπとする。 K1上の既約多項式 f1(X) とK2上の既約多項式 f2(X)がπ(f1)=f2 を満たすとする。(f1のK1係数をπでK2係数に写し変えたものがf2に等しいとする) f1(X)とf2(X)の根 θ1とθ2について、それぞれを体K1とK2に追加した拡大体K1(θ1)と K2(θ2)をつくると、これらは同型であり、その同型写像σとして、σ|K1=π、σ(θ1)=θ2 なるものが存在する。 [証明] K1(θ1)の元λはK1係数のθ1の式である。σ(λ)をλ中のθ1を…

従来の逆数の定義は $ab=1$ を満たす2つの数 $a$, $b$ を互いに逆数と呼ぶというものでした。しかし，これでは，$0$の逆数が存在しません。そこで逆数の定義を改め，次式を満たす2数を逆数と呼ぶことします。 $$ a=\dfrac{1}{b} $$ こうすると，従来の逆数は新定義でも逆数で，さらに $0=\dfrac{1}{0}$ なので，0の逆数は0になります。ただし，$0\cdot 0\ne 1$ であり，$0\cdot 0=0$ であることに注意しましょう。 逆数の定義をこう改めると，以前の記事 0除算の導入3 (全単射) - hoinoriの日記 で考えた写像 $\psi$ …

概要 位相空間の同相写像(多様体の基礎)について概説する。 links 「多様体の基礎」 内容 定義(同相写像) を位相空間とする。 写像が次の条件(1)(2)を満たす時、fは同相写像(homeomorphism)であるという。 (1) は全単射である。 (2) もも、ともに連続写像である。 定義(位相同型) XとYの間に同相写像があるとき、XとYは互いに位相同形(homeomorphic)であるといい、 と書き表す。

概要 Cr級微分同相写像(多様体の基礎)について概説する。 links 「多様体の基礎」 内容 定義(級微分同相写像) U,Vをそれぞれ, の開集合とする。 写像が 級写像が次の条件(1)(2)を満たす時、fを級微分同相写像(Cr diffeomorphism)という。 (1) は全単射である。 (2) もも、ともに 級写像である。 定義(級微分同相) UとVの間に級微分同相写像 が存在するとき、UとVとは互いに級微分同相(Cr diffeomorphic)であるという。