常微分方程式

微分方程式は大きく２つ、独立変数が1個の常微分方程式と、独立変数2個以上の偏微分方程式に分けられる。読み方を簡単に、常微分方程式をODE、偏微分方程式をPDEと表記する。以降この表記で進める。 自然界の現象を微分方程式で表現しようとすると、多くがPDEになる。つまり独立変数が単一では無いケースがほとんどという事だ。よく考えればその通りだ。座標空間3次元（x,y,z）、これだけで2変数関数のPDEになる．時間経過も要因に入れると、3変数関数のPDEだ。1変数関数y = f(x)のような結果であれば平面にプロットできる。z=g(x,y)のような2変数関数だと3Dプロットになる。3変数関数h(x,y…

こんにちは、ドジソンです。 普段は『その場で勉強できる』を意識して大学数学記事を書いている者です。 参考：即解決！大学数学まとめ 上サイトは、読者の皆様のおかげもあって、多くの人に見てもらえるまで成長しました。 それはさておき。 今回は初学者向けにおすすめの線形代数の参考書を紹介していきます。 お得情報（Prime Student）の解説もしていますので、是非最後まで見てください。 ※お知らせ※次の線形代数の記事ができました（再掲するので後で見てもOKです）。 ここで紹介している本より難易度高めのものとなっています。 【厳選4冊】（院試対策にも！）レベルの高い線形代数の参考書（教科書） 初学者…

はじめに 基本定理ですがE. カルタンのレクチャーノート（1945）の証明をなぞってみたいと思います。 カルタンのレクチャーノートのコピー とその上の微分形式全体を考える。 は微分dを持つ次数付き可換環になっている。 原点で消えていない独立なk個の1形式 が与えられたとする。 をこれらの1形式から生成されるの生成イデアルとする。 ただし次数付き可換環のイデアルであって、微分についてはイデアルになっているとは限らない。 可積分条件 イデアルが微分dに関してもイデアルである条件、すなわち行列が存在して \begin{equation}d\omega_{i}=\sum\theta_{ij}\omeg…

問題 １階の偏微分方程式を解くという問題を考えます。 重要なのは解法のテクニカルな側面より、その哲学の方です。 偏微分方程式は常微分方程式に比べて難しいので、問題をより簡単な常微分方程式に置き換えて解くのです。 まず、問題の偏微分方程式を微分方程式とリレーションとに分解します： \begin{eqnarray}dz-p_{1}dx-p_{2}dy&=&0\\F(x,y,z,p_{1},p_{2})&=&0\end{eqnarray} ここでは独立変数ではの上の関数。Fは微分を含まないただの関係式になりました。この分解は問題の鍵を握る重要なポイントです。 ハミルトン形式にすること 問題が解けたな…

自信ない部分はこの色、編集の都合で残していて、完成版では削除する部分がこの色、どーでもいい部分や扱いを決めあぐねている部分はこの色 誰かに、日本語でこの記事の上位互換を書いてほしい。誰も書いてくれない間は頑張るけど。ブログで読んでいる方へ。最新版はこちら github.com ブログ版はver. 0.4.5Markdownファイルで編集しています。PDFファイルもあります。好きに使ってください。内容の正しさは全く保証できません。8時間かけて読んだら一通りわかる。くらいのボリュームを目指す。これを読んだ後自作し始めて、何かに引っ掛かったらまた戻ってくる、みたいな使い方に適する教材にしたい ０，前…

こちらの文献の用語拾い 亜臨界型分岐 アレン-カーン方程式 安定（進行パルス、振動進行パルス、定常パルス、平衡点） 一般固有空間 縁分裂現象 開放系 拡散（現象、方程式、方程式モデル、膜、誘導不安定化、誘導不安定性） 活性因子 軌道漸近安定 共役作用素 極限点の整列階層構造 極限点の余韻 局所不変集合 ギーラー-マインハルトモデル 熊手型分岐 グレイ-スコットモデル 興奮性常微分方程式系 興奮性反応拡散方程式 興奮性をもつ解挙動 細胞分化 サドル・ノード型 サドル・ノード分岐（点） 時空カオス 資源ー消費型反応拡散方程式 自己触媒化学反応 自己複製（機構、パターン） 自己分裂 自己崩壊 射影作…

こちらの文献をパラパラめくる。 前書き 4+1リキ（流体力学、熱力学、材料力学、機械力学、量子力学） ベクトル解析とテンソルの基礎 勾配・発散・回転 テンソルの添字演算1 テンソルの添字演算2 ベクトルの積分定理 空間曲線・曲面と曲率 概念・キーワード ベクトルの微分演算子（勾配・発散・回転）、ベクトル・テンソル方程式、ベクトル場の積分（ガウスの発散定理、ストークスの定理、グリーンの定理、レイノルズの輸送定理）、曲率（フレネー・セレーの公式、平均曲率） 常微分方程式 微分方程式の分類 振動の方程式 その他の常微分方程式 1階線形微分方程式 連立微分方程式 解の定性的理論の基礎 概念・キーワード…

ロジスティック写像 ロドリグの公式 ロピタルの定理 ローラン多項式 ローラン展開 ロルの定理 ローレンツアトラクター ローレンツ計量 ローレンツ変換 ロンスキアン まず、ロピタルの定理、ロルの定理は微分・積分についての、大域的な情報と局所的な情報を結ぶ ローラン展開・ローラン多項式は、複素解析について。 ローレンツ計量・ローレンツ変換は、4次元多様体と曲がった空間の尺度の計量について。 ロンスキアンは線形常微分方程式の一次独立かどうかの尺度。 ローレンツ多様体上に定義された関数族のローラン展開や、ロンスキアンとロルの定理の関係性とかが気になるところではある。

お疲れ様です。kawakoです。 東大航空の院試を経て、それに向けて行なった勉強対策(数学)について紹介します。ネット上の、対策を十分にされてきた先輩方のブログの方が参考になると思いますので、この記事は参考程度にしてください。 勉強対策の概要で触れた数学についての詳細について書きます。数学はいくつかの分野を授業で履修したこともありましたが、基本Youtubeやマセマで対策しました。同じ学科の後輩がどのような授業を履修すれば有利かというところを簡単に書いておこうと思います。あくまで参考程度に。 nasakawako.hatenablog.com ＜院試の科目と自大の授業科目との対応＞ ＜院試の科…

よく知られているように、期待値$\mu$、分散$\sigma ^2$である正規分布$N(\mu,\sigma ^2)$に従う確率密度関数は以下の式で表現されます。 $$ f(x)=\frac{1}{\sqrt{ 2\pi \sigma ^2} } e ^{ - \frac{(x - \mu) ^2}{2\sigma ^2}} $$ これまでずっと、この式を「そういうものだ」として理解してきました。 しかし、せっかく統計学の勉強をしているので、なぜこのような形をしているのかを理解したい。というわけで、今日はこの正規分布の確率密度関数の導出がテーマです。 前提 問題定義 矩形内に点が入る確率 極座…

お疲れ様です。kawakoです。 東大航空の院試を経て、それに向けて行なった勉強対策についての概要(詳しいものはまた別の記事で書く予定)をまずは紹介します。 ＜東大航空院試に際し参考にしたブログ＞ メインで参考にしたのは、メカズシブログでした。数学や専門で必要な教科書だとか参考書は大方この方のブログから知りました。本当にお世話になりました。他にもMarinさんやデイビットさん、cassiniさん？なども参考にしました。ネットで調べたらたくさん出てくるのでぜひご覧ください。外部の方は特に、僕よりもしっかり準備されて受験されていた方々なので、それ読んで合格率上げてください。 ＜募集要項・試験方式＞…

数学の具体的な計算にPythonを使って、数学もPythonも同時に学んでしまいましょう。今回はPythonを使って、偏微分方程式の解を数値的に求めてみたいと思います。常微分方程式については以下の記事で扱っています：pianofisica.hatenablog.comあわせて読んでみてください。 偏微分方程式 輸送方程式（右進行波） 数値計算 変数の離散化 差分方程式 Pythonによる実装 計算精度の改善：前進差分・後退差分・中心差分 (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({}); 偏微分方程式 一般に、未知関数とその導関数を含んだ方程式…