束論

順序による定義

順序集合 が束であるとは、任意の二元集合に上限と下限が存在するものをいう。上限を結び、下限を交わりといい、それぞれ 、 と書く。

等式による定義

代数系 が束であるとは次を満たすことである：

1. 交換律：
2. 結合律：
3. 吸収律：
4. 上の3つの論理式の と を交換してできる論理式

2つの定義の同値性

上の2つの定義は実は同値である。順序集合 が前者の意味で束ならば、そこから得られる代数系 は後者の意味でも束である。さらに別の順序を と定義すると、この順序は元の順序と一致する。代数系 が後者の意味で束ならば、順序を と定義して得られる順序集合は前者の意味でも束である。さらに別の演算を 、 と定義すると、この演算は元の演算と一致する。

すなわち束のクラスは等式クラスであり、束の直積代数が再び束となることがわかる。2つの束 の直積代数 を考える。 と定義したとき、 は直積集合 上で なる順序を成す。

代表例

• 集合 の冪集合を包含関係で並べた順序集合 。結びは和集合、交わりは積集合である。
• 位相空間 の開集合族を包含関係で並べた順序集合 。最初の例は離散位相を入れた場合に相当する。特に開かつ閉集合の全体が成す束はブール代数になる。
• 述語論理の文に適当な順序を入れて得られる商代数(➜リンデンバウム代数)。
• 正整数を整除関係" は を割り切る"という関係で並べた順序集合 。結びは最小公倍数、交わりは最大公約数である。