解析解

先日、拡散方程式の解析解を変数分離法により計算したが、拡散方程式といえば、やはりフーリエ変換だと思うので、今回は「フーリエ変換法」で解くことにする。

先日、拡散方程式の数値解をRにより計算したので、今回は解析解を求めてみようと思う。いくつか解き方があるが、二階偏微分方程式の解法でよく用いられる「変数分離法」で解くことにする。

今回も移流方程式の解析解を求める。前々回は変数変換法、前回は特性曲線法を用いたが、移流方程式のような一階偏微分方程式は特性曲線法で解けることが知られており、「変数分離法」を用いるまでもない。ただ、「変数分離法」は二階偏微分方程式の解法によく使われる方法であるため、この方法を一階偏微分方程式である移流方程式に適用するとどうなるかを確認してみようと思う。

前回は移流方程式の解析解を変数変換法で求めたが、その際、、を、に変数変換したものの、解として出てきたのはのみであった。そうであれば、最初からだけ使っても解けるのではないかという気がしてくる。この方法は特性曲線法として知られる。

こちらの無限積関数は公式集から導出できる。 しかるに、符号がかわっただけの下式はどうか？ これもそれとなく解ける。これは元の式でx→α xと変換し、α^4=-1とすれば導ける。 しかし、はいかがなものか。 誰か簡単化して。 そうそう、下のような無限積も可解である。それなりに美しい。 しかし、一歩手前の３乗の場合はガンマ関数と複素数になるようだ。 うむ、これも踏み込みが足りない式といわれてもしょうが無い。 【参考文献】 本書がまだ紙媒体として存在していることを願うばかりです。デジタル本だとパラパラめくるという行為がやりにくい。デジタル情報というのは検索や複写はラクだが自由連想に不向きなのではない…

以前，有限体積法の数値解を検証することを目的として，両境界にディレクレ条件を適用する場合の一次元の拡散(熱伝導)問題の理論解(厳密解あるいは解析解)を紹介した．今回は，異なる境界条件を適用する場合の一次元の拡散(熱伝導)問題の厳密解(解析解)を紹介する．「Transport Phenomena」のpp. 374-381に一方の境界にディレクレ条件を，もう一方の境界にノイマン条件を適用する場合の一次元の拡散(熱伝導)問題の厳密解(解析解)を紹介する．具体的には，初期条件として境界も含めて温度一定に保った解析対象の一方の境界の温度を瞬時に別の温度にする場合の任意の時間と位置における温度を求めること…

有限体積法を学ぶ際，一次元の拡散(熱伝導)問題から始めるだろう．その際，拡散問題の数値解を検証したい．「図解伝熱工学の学び方」のpp. 62-64に一次元非定常熱伝導の理論解(厳密解あるいは解析解)が載っているので，ここで紹介しておく．具体的には境界条件をディリクレ(温度固定)条件とし，解析領域の初期の温度分布として中心の温度が最も高く，境界に向かってそれぞれ線形に下がる温度分布を仮定した場合の任意の時間と位置における温度を求めることができる．なお，解析解の導出にはフーリエサイン級数が用いられているが， 有限体積の範疇ではないため，詳細については参考書に譲る． 図解伝熱工学の学び方 作者:北山…