準同型定理

(サイエンス)

【じゅんどうけいていり】

1. 群の準同型定理
$G,G'$ を群、 $f:G\to G'$ を群の準同型とするとき、 ${\rm Ker}f$ は $G$ の正規部分群で、群の同型
$G/{\rm Ker}f\stackrel{\sim}{=}{\rm Im}f$
が成り立つ。またこのとき、 $G$ の ${\rm Ker}f$ を含む部分群 $H$ と ${\rm Im}f$ の部分群 $H'$ は
$H=f^{-1}(H')\leftrightarrow H'=f(H)$
なる対応で一対一に対応し、 $H,H'$ の一方が正規部分群ならもう一方もそうである。

2. 環の準同型定理
$R,R'$ を環、 $f:R\to R'$ を環の準同型とするとき、 ${\rm Ker}f$ は $R$ の両側イデアルで、環の同型
$R/{\rm Ker}f\stackrel{\sim}{=}{\rm Im}f$
が成り立つ。またこのとき、 $R$ の ${\rm Ker}f$ を含む両側イデアル $I$ と ${\rm Im}f$ の両側イデアル $I'$ は
$I=f^{-1}(I')\leftrightarrow I'=f(I)$
なる対応で一対一に対応し、環の同型 $R/I\stackrel{\sim}{=}{\rm Im}/I'$ が成り立つ。

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大学物理•6ヶ月前

1.3.1.2 部分群

重要な概念部分群剰余類正規部分群共役類正規化群商群中心中心化群同型写像核同値類重要な定理重要な概念部分群群 $G$ の元からなる群 $H$ を $G$ の部分群 $H\subset G$ といい， $\qty{e}$ と $G$ を自明な部分群，他の部分群を非自明な部分群という．剰余類ある $g\in G$ の右から部分群 $H$ の元を掛けて得た $G$ の部分集合 $gH=\qty{gh\mid h\in H}$ を右剰余類という．左から部分群 $H$ の元を掛けて得られる部分集合 $Hg=\qty{hg\mid h\in H}$ を左剰余類という．正規…

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