準同型定理

準同型定理

(サイエンス)
じゅんどうけいていり

1. 群の準同型定理
G,G' を群、f:G\to G' を群の準同型とするとき、{\rm Ker}fG の正規部分群で、群の同型
G/{\rm Ker}f\stackrel{\sim}{=}{\rm Im}f
が成り立つ。またこのとき、G{\rm Ker}f を含む部分群 H{\rm Im}f の部分群 H'
H=f^{-1}(H')\leftrightarrow H'=f(H)
なる対応で一対一に対応し、H,H' の一方が正規部分群ならもう一方もそうである。

2. 環の準同型定理
R,R' を環、f:R\to R' を環の準同型とするとき、{\rm Ker}fR の両側イデアルで、環の同型
R/{\rm Ker}f\stackrel{\sim}{=}{\rm Im}f
が成り立つ。またこのとき、R{\rm Ker}f を含む両側イデアル I{\rm Im}f の両側イデアル I'
I=f^{-1}(I')\leftrightarrow I'=f(I)
なる対応で一対一に対応し、環の同型 R/I\stackrel{\sim}{=}{\rm Im}/I' が成り立つ。

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