【continuous function】 定義域のすべての点で連続している関数。
久しぶりに熱方程式について書きたいと思います。 前回まで、熱方程式の考察の対象として、以下のようなディリクレ問題 (1)= (2)= (3)= やノイマン問題 (1)= (2)== (3)= を対象にしていました。 今回は熱方程式の定義域を無限に広げたバージョンについてみていきます。 このような熱方程式のことをCauchy問題といいます。 ちなみにこのCauchyは数学でよく登場するCauchy列のCauchyです。 初めに定義を書いておきます。 定義 (1)= (2) (1),(2)からを決定する問題を熱方程式のCauchy問題といいます。 このCauchy問題に対しても、最大値の原理が成り…
「マーケットの魔術師」を読み始めた。この本は、何人もの魔術師たちのインタビュー集のようだ。中には、投資に失敗して無一文を何度か経験した者もいる。その後、３万ドルを投資し、８０００万ドルを手にした魔術師もいる。これには勇気を与えられる。大失敗して、無一文になったとしても、3万ドル程なら、お金がない誰にだって死にで死にものも狂いになれば、用意できる。そこから８0000万ドルだ。ぼくにも数少ないが、投資の経験がある。最初５千万円を投資したが、紆余曲折あり、最終的に、１億５千万円のリターンを得た。ここで経験したことは、大きかった。ちなみに、このうち７千万円ほどは使ってしまった。これを、運がよかったと言…
笠原先生の『微分積分学』（サイエンス社）の陰関数定理の証明の整理. Them. (陰関数定理) の領域 で連続な2変数関数 があって, の1点 の近傍 で, について偏微分可能で, は で連続であるとする. もし, で なら, の十分小さい近傍 で, なる連続関数 が唯一つ存在する. の近傍を , の近傍を とする. しかして, なるようにする. という逐次近似を想定して, とおこう. 不動点定理から, なる を導けばよいのだが, そのために少しく準備をしておく: とおいておく. の範囲をせばめていって, それを とするとき, が の縮小写像で, かつ が完備になるようにしたい. その をどう…
U⊆Rn を開集合として、X:C∞(U)→C∞(U) が、ライプニッツ法則を満たすR-線形写像のとき、Xは通常の偏微分作用素 の関数係数線形結合で書けます。このことを示すことにしましょう。また、ライプニッツ法則を満たすR線形写像Xと、接ベクトル場の関係についても述べます。これにて、「微分はライプニッツ法則に支配されている」というお話は完結です。内容： 寄り道しながら Cr級関数、r = ∞ と r = -∞ 点導分と領域導分 作用素と汎関数、なめらかさ 領域導分の表示 接ベクトル場 領域導分と接ベクトル場の対応 領域導分と接ベクトル場の同一視 シリーズ目次： 微分はライプニッツ法則に支配されて…
こんにちは 今日は偏微分方程式を考えるうえで何度も登場するデルタ関数について紹介します。 デルタ関数とは デルタ関数は超関数と呼ばれるものの一種です。物理では、本来はものすごく狭い(例えば電子のようなものです。ですが、いくら小さくても点ではない) 領域に何かが分布しているが、1点に集中していると理想化することが良くあります 例えば質点 (有限の質量が体積のない1つの点に集中している)、点電荷 (有限の電荷が体積のない1つの点に集中している)などです。これを取り扱えるようにしたものが、ディラックのデルタ(超)関数です。 電荷が原点の近くに分布していて、総量が1であるとします。 その密度を としま…
正則化について この記事では最適化を行う際の正則化をまとめます。 Lasso(Least Absolute Shrinkage and Selection Operator) 言わずと知れた正則化。連続関数であり、パラメータにスパース性を持たせることができる。 で定義される。 *Lassoに用いられるノルムは ]上でノルムを下から抑える最大の凸関数である。 略証:2回ルジャンドル変換をした関数は元の関数を下から抑える最大の凸関数になる（らしい）、にとってはがそれにあたる。 *これより、正則化を近似する最高のモデルは。 グループ正則化 パラメータを同じ種類に分けて正則化をする手法。 の時、グルー…
最近読んでるLuenberger “Optimization by Vector Space Methods”を参考に関数解析の枠組みでみた最適化理論についての議論をまとめていこうと思います。どうやら、関数解析の知識を整備していくと、複雑な空間(e.g. 連続関数の空間などと言った無限次元のヒルベルト空間)における最適化問題を幾何的な直感の元扱えるようになるみたいです。 章立てはこんな感じ。 Introduction Linear Space Hilbert Space Least Squares Estimation Dual Spaces Linear Operators and Adjo…
偶然の輝き ブラウン運動を巡る2000年 [ 池田 信行 ]ジャンル: 本・雑誌・コミック > 科学・医学・技術 > 数学ショップ: 楽天ブックス価格: 3,780円 目次 第１章 偶然の中に潜む法則 第２章 偶然を語る数学の始まり 第３章 ブラウン運動をめぐる新たな話の始まり 第４章 偶然を語る現代的枠組みの誕生 第５章 ブラウン運動 第６章 解析や幾何に現れる偶然性 第７章 ウィナー空間上の二次形式 第８章 偶然現象と非線形方程式 目次 第１章 偶然の中に潜む法則 第２章 偶然を語る数学の始まり 第３章 ブラウン運動をめぐる新たな話の始まり 第４章 偶然を語る現代的枠組みの誕生 第５章 ブ…
大学に入った時、まず、最初に数学科で習うのが、解析学と線形代数なのだが、その解析学の教科書として使っていたのが、 杉浦光夫『解析入門１』 解析入門 ?(基礎数学2) であった。そして、この最初の方の章の最後の練習問題で、いわゆる 実数論 と呼ばれるような話題が取り上げられていて、つまり、実数の「定義」。例えば、デデキント・カットの定理が、確か、１０個以上の（解析学の）定理と「同値」であることを示せ、といった問題が書いてあって、その時思ったのは、つまり、ようするにこれは本当は 実数論 という、群論、体論、自然数論、有理数論、と同列にあるんだけれど、これから、この本で展開していく「解析学」において…
