非可算集合

(サイエンス)

【ひかさんしゅうごう】

自然数の部分集合と一対一対応のつけられない集合。可算集合ではない集合で、即ち濃度が自然数の濃度(無限可算集合の項を参照) $\aleph_{0}$ より大きな集合を言う。

実数は自然数の濃度 $\aleph_{0}$ と異なる連続体の濃度 $\aleph$ を持ち、その事実はカントールの対角線論法で示される。超越数全体、無理数全体の集合も連続体の濃度を持つ。更に、実数から実数への関数全体の濃度は関数の濃度fと呼ばれ、連続体の濃度より大きい。

一般に、任意の集合Aの冪集合 $2^{A}$ の濃度は元の集合の濃度より大きくなり、式では|A|＜| $2^A$ |である。例えば自然数の冪集合は実数と一対一対応が付き、更に実数から実数への関数全体の集合は実数の冪集合と一対一対応がつき、式では| $\bf{R}$ |＝ $\aleph$ ＜ | $2^{\bf{R}}$ |＝fである。

ここで、任意の無限集合Aの濃度|A|とその冪集合 $2^{A}$ の濃度| $2^{A}$ |の間の濃度を持つ集合の非存在の仮定は一般連続体仮説とよばれる。特に $\aleph_{0}$ と $\aleph$ の間の濃度を持つ集合の非存在の仮定は連続体仮説と呼ばれる。

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