みたにっき@はてな

16年03月17日(木) 立体折り紙の個展開催(4月1日〜24日)

4月1日〜24日の約3週間、東京都文京区白山にある「ギャラリーおりがみはうす」にて、

折り紙作品の個展を開かせていただきます。


「ギャラリーおりがみはうす」は、国内外の優れた折り紙作家の作品を常設していますが、

今回の展示ではそのスペースを丸ごと使わせていただきます。

大変名誉なことで、有難く思います。

このような、ギャラリーの贅沢な使用をご快諾くださった、おりがみはうす事務局の山口真さんに、心から感謝いたします。


今回の展示では、拙著「立体折り紙アート(日本評論社)」に収録した折り紙作品を中心に約50点を展示させていただこうと考えています。

作品の写真は、この書籍だけでなく、Flickrなどでも見ることができますが、是非、実物を間近でご覧いただけたらと思います。

Web上などで公開している写真は、かなり照明を工夫して格好良く撮っていますが、おそらく実物では紙のシワや、貼り合わせ箇所のずれ、折りかたの十分でないところなど、「物質としての紙と人間の手の闘いと協調の跡」を見てとっていただけるのではないかと思います。


また、10日と24日(ともに日曜)では、13時からワークショップを開催する予定です。

「曲線で折る折り紙」に挑戦してみたい方は、是非ご参加いただければと思います。


ポスターのPDFファイルはこちらです。

http://mitani.cs.tsukuba.ac.jp/dl/2016/mitani_exhibition_2016_2.pdf

案内ページはこちらです。

http://mitani.cs.tsukuba.ac.jp/exhibition2016/

関連リンク

折り紙専門のギャラリー - おりがみはうす

作品写真公開サイト:Jun Mitani | Flickr

立体折り紙アート 特設ページ

f:id:JunMitani:20160317213836j:image

16年03月16日(水) プラレールブーム

2歳の息子がプラレール大好きで、朝起きると、新幹線の模型のスイッチを入れて走らせることから一日が始まります。

そんな息子のために、プラレールのコースを作ってあげていたのですが、少し遊んでいるうちに楽しくなって、親の方が夢中になってしまいました。

あれやこれやとヘンテコなコースを作って、一連の写真をTwitterに投稿していたら、他のサイトで紹介されるなど、多くの方に見ていただく機会を得ることになりました。

せっかくなので、ここにまとめておきたいと思います。


最初の投稿はこんな感じ。

レールを1つながりの輪にした場合って、結び目理論の議論ができるのではないかと思っての投稿。


結び目理論の話をするのであれば、最も単純なKnotを作ってみようと思っての投稿。


プラレールをただの鉄道模型のおもちゃ以上の何かとして眺めてみようという気持ちで。



有向グラフであると見なしたらどうかと思っての投稿。


あまり意味はなくて、ただ自宅にある曲線レールをたくさん組み合わせてみた。


我が家の曲線レールのリソースはこの程度(このときは・・)。


プラレールのプラレールらしくない使い方。


プラレールで「メビウスの輪」を発想した人はいないのではないかとの自負から、自分の中ではかなりの傑作。

レールの両面を走ることができる(実際にはできない)


「Uターンレール」を立てることで何か役立つ使い方はできないかと思って、輪くぐりにしてみた。


「メビウスの輪」から、もはや実際に走れないのもありなのではないかということから、錯視に挑戦。



この時点で、職場のお友達からプラレールを大量に寄贈される。(ありがとうございます!)


それによって、息子が遊んでいるのとは別に、自分でも遊べるようになったので、とりあえずこんなものを。


これが予想以上にうけがよかったようで、いろいろリツイートされる。GIGAZINEでも紹介される。

プラレールに詳しい方々から参考になるコメントをもらう。


そして、とうとう実世界を離れてパソコン上での話。


プラレールも数学っぽい話ができるかと思い、気まぐれの問題設定。

よく考えると、aが8の場合の時は成り立たない設問ミス。


プラレールが単なる幾何学模様へ。この時点では手作業で模様を作成。


気分転換のカプラ(積み木)で面白い形ができたので、プラレールをくぐらせてみる。


手作業で1つ1つ模様を作っていられないのでスクリプトを作成。


レールの向きも変えられるようになったことで、バリエーションが増える。


一般公開。


なにやらよくわからない形を次々に作れるようになった。


もはや、プラレールが幾何学模様に抽象化されてしまって、万華鏡かスピログラフかのようなものに。


このアプリを研究室の卒業生が GitHub に上げてくれました。


そして現時点での最新のものが分岐を作った遊び


さて、今後はどうしよう??


このような一連の取り組みを、以下のサイトでまとめてもらっています。

今話題の幾何学模様のプラレールコースとは(五十嵐悠紀) - 個人 - Yahoo!ニュース

筑波大学の教授が鉄道玩具『プラレール』で制作した“幾何学模様”が美しすぎる! - Spotlight (スポットライト)

15年12月08日(火) イタリア折り紙コンベンション(CDO: Centro Diffusione Origami)

12月5〜8日の4日間に渡って、第33回イタリア折り紙コンベンション(CDO)がTabiano Bagniという北イタリアの地で開催されました。

今回はSpecial guestsとして、生き生きとした動物の作品を得意とするBernie Peyton氏、ヨーロッパ各国でも抜群の知名度をもつ布施知子氏、そして恐れ多くもこの私の3名が招待されました。

参加者は約270名ほどで、イタリアの外からも80名近くの参加者があったそうです。周りには何もない、良く言えば自然豊かな地で、1つのホテルの中に朝から晩まで折紙愛好家がギュッと押し込められた、濃密な空間と時間を体験させていただきました。

1つの広い会場で複数のワークショップが同時進行するため、会場は熱気に溢れ、いつでも賑やかでした。会場の周りには多数のハイレベルな作品の展示が並び、世界でも指折りの折り紙コンベンションであることを感じさせるものでした。

Special guests として、講演とワークショップの実施が求められるのは普通ですが、今回は2時間×4回分、それぞれ異なる内容で行うことが期待されたので、なかなか準備が大変でした。

とくに私の場合は、コンピュータで設計した展開図が無いと何もできないので、事前にRoberto Gretter氏にデータを送って印刷済みの厚紙を用意していただくなど、多くの協力をしていただきました。

おかげで無事にすべてのワークショップを終えることができました。中には高難易度のものもあったのですが、参加者の多くが綺麗に仕上げることに成功し、皆さんの技術力の高さに驚かされました。

このコンベンションの期間中、折り紙の世界の大先輩である布施知子さんとたくさん話をすることができたのも嬉しい事でした。

布施さんの講演の中の、「折り紙の世界の友人と10年ぶり、もしかしたら20年ぶりになるかもしれないけれど、こうやって再会して、みなが同じように歳を重ねているのを見て、歳を取るのも悪くないものだと感じました」という言葉が印象的でした。

国や言葉や世代を超えて、折り紙を通して多くの方と交流を深めることができることは素晴らしいことだと再認識しました。このような貴重な機会をいただいた、現地スタッフの皆さんに感謝申し上げます。

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(日本折紙学会誌「折紙探偵団155号掲載文」)


CDOに参加する前には、POLITECHNICO DI TORINO を訪問して折り紙の話をさせていただきました。

そこで案内していただいた教会の屋根に、なぜかフィボナッチ数列が。。

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15年07月28日(火) リンゴをクルクル回してむいた皮のカタチ

本日放映されたすイエんサーのテーマは

「りんごの皮を最後まで切らずにむくには?」

でした。


今回、ほんの少しだけ(全部で10秒くらい??)出演させていただいたので、差し支えのない範囲で、その裏舞台の話を書いてみます。


リンゴをクルクル回しながら皮をむいていくと、ひとつながりの長い帯の形になります。

これを平らに置くと、下の写真のような、2つの渦巻きがつながったような形(短い場合はアルファベットのS字のような形)になることが番組で紹介されていました。


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↑これは僕が自分でむいた写真。



すイエんサーの番組では


「皮を途切れさせることなく、このような形にむくには、どのようにすればよいか。」


という内容が紹介されていましたが、当初は

「どうしてこのような形になるのか?」



という問い合わせを番組関係者の方からいただきました。


むむむ。


なぜこのような形になるのでしょう??


言葉でわかりやすく説明しようとすると、次のような感じになるでしょうか。


リンゴの北極相当の場所から「時計回り」に皮をむきはじめて、最後に南極に到達するまでむき進めるとする。

さて、これをひっくり返して南極から眺めてみると「反時計回り」になっている。

北半球と南半球で、回転の方向が反対なので、リンゴの皮の展開図の両端には逆向きの渦が現れる。

これが中央でつながるのだから、結果としてS字型になる。


これを厳密に述べようとすると、ちょっと難しい問題で、Webで検索したところ、数学的な考察を書いた次のようなページがありました。

リンゴの皮の螺旋とクロソイド曲線の関係 - DaiiusDiscipulusの日記


上記のページでは、りんごの皮をむく時の経路を球面上の螺旋として次の式で表し、

これを平面上に移した時の曲率が次式で表されると述べています(aは回転数)。

ここでa→∞とすることで、


となるので、中央にあたるtがπ/2のときに曲率がゼロになり、その前後で曲率の符号が反転することがわかります。


以上から、皮は最初に渦を巻いた方向と、途中から向きが変わって逆向きの渦を描くことが数学的にも正しいと言えそうです。



さて、別の方法として、球面を多面体で近似して、その展開図を観察することが考えられます。

こちらの方が私の好きなアプローチです。


例えば、下図のような多面体で球を近似的に表現するとします。

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この多面体の展開図は、構成面を並べることで得られるので、うまく並べると下図のような展開図が得られます。

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極の近くから次第に円弧が広がり、赤道付近は真っ直ぐになります。

これが反対側も同様になるので、結果としてS字型になることを確認できます。



もう少し、リンゴの皮むきの様子を再現したモデルを次のように作成しました。

細長い三角形の列(triangle strip)で曲面を近似しています。


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これを展開すると、下図のように、それっぽい形が得られました。(ペパクラデザイナーを使用)

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リンゴの皮は包丁でむくので、triangle stripで近似するのも、あながち間違っていないように思います。

こうやって見てみると、やっぱりリンゴの皮は逆向きの渦が2つくっついた状態になることを見てとれます。


さらに、皮むきの様子をアニメーション表示してみました。

ここまでくると、単なる趣味の領域。

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さて、番組の最後には次のような、すイエんサーのロゴが配置されたサイコロの展開図が登場しました。


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↑これを組み立てると、立方体になるのです。


「何か最後に面白い展開図は無いか」と相談されて、提供したものです。

立体の展開図は、その作り方によって、いろいろな形を取り得るということをメッセージとして伝えたかったのです。


ちなみに、立方体を細長い1本の展開図にしようということは考えていたのですが、図のようなジグザグの形にするアイデアは僕と同い年の中野圭介氏が教えてくれました。感謝です。

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15年07月09日(木) 3Dプリント用肝臓のフレームモデル

筑波大学の医学系の先生方と共同で、主に肝臓手術の支援を対象としたプロジェクトを進めています。

「3D-CG バーチャル手術シミュレーションユーニット http://u-tsukuba-vrsurg.jp/

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私の担当範囲では、手術シミュレーションのためのソフトウェア開発などを目指していますが、それ以外にも多くの先生方と共同で多岐に渡る研究に取り組んでいます。


その中の一つの成果として、

「安価で、内部構造が見易い臓器立体模型を3Dプリンターで作製する手法」

について7月8日に記者発表する運びとなりました。

http://u-tsukuba-vrsurg.jp/news1/1136.html

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大日本印刷さんと一緒に進めてきたので、詳しくは

(大日本印刷のプレスリリース http://www.dnp.co.jp/news/10112404_2482.html

でご覧いただけます。


簡単に言ってしまうと、下の写真のような肝臓の内部を表した模型を3Dプリンタで出力するサービスの実現を目指しています。というものです。

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肝臓内部には血管が複雑に広がっているので、この内部を理解するためにCT画像から3DCG表示したり、下の写真のような透過模型を作ったりするのが従来のアプローチでした。

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これはこれで便利なのですが、何しろ高価である、という点が大きなネックになっていて、手術の度に制作するわけにもいかないという問題がありました。また、透過樹脂を使っているとは言え、奥の方は見えにくいとか、表面の屈折で歪んで見える、表面の光沢で見にくい場所がある、などの欠点もありました。


これを何とかしよう。ということで考え出したのが、肝臓実質は出力せずに、表面にフレーム構造を配置するだけのものだったわけです。

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価格を下げることが第一の目的でしたが、作ってみたところ、「透過樹脂製よりも、むしろ血管が見やすくていい。」という副次的な効果が大きく、医学系の先生には高い評価をいただくことができました。

さらに、フレーム構造は内部の血管の繊細な構造を守るという機能もあります。

フレームが無ければ、もっと安価にできますが、フレームには

・肝臓の外形を把握できるようにする

・血管部を保護する

という2つの機能があるのです。


フレーム構造の決定までには試行錯誤がありましたが、最終的な案は研究室の修士2年の江 健太郎君が作成してくれました。江君はCGで綺麗な絵を作るのが得意で、下のようなレンダリングもしてくれました(実際はコストの関係で色を付けることはしません)。

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技術的な新規性は乏しいのですが、多くの方と話をしていくなかで、これまでとは異なる発想のアプローチを見出すことができました。


今回の記者発表を受けて、多くのメディアで取り上げていただけました。


・日刊工業新聞

http://www.nikkan.co.jp/news/nkx0720150709eaai.html

・産経ニュース

http://www.sankei.com/region/news/150709/rgn1507090054-n1.html

共同通信社リソース

http://www.chunichi.co.jp/s/article/2015070801001639.html


今後、実用化に結び付けることができれば嬉しいです。

15年07月06日(月) 立体折り紙アート - 数理がおりなす美しさの秘密

これまでの折り紙制作の内容をまとめた本、


「立体折り紙アート - 数理がおりなす美しさの秘密」


が7月20日発売の予定となりました。


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Amazon の書籍のページ


折り紙の研究を始めたのは10年前くらい前で、当初は下の図のように、平らに折りたたまれるものを主な研究対象としていました。


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↑山谷の線図から折りあがり後の形と紙の重なり順を推定するソフトウェア、ORIPA


立体的な形を作り始めたのは、今から6年ほど前からになります。

単純な原理から、下の写真のような丸みを帯びた形を作りだせることがわかり、折り紙の設計と創作が楽しくなりました。

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これまでの間に、立体的な折り紙を対象とした設計用ソフトウェアを複数開発し、

それらを使って、普段見かけないような「面白い」「綺麗だ」と思えるような形づくりをしてきました。

そしてそれらの多くを Flickr で公開してきました。

https://www.flickr.com/photos/jun_mitani/


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↑ソフトウェアで設計して制作した折り紙作品


そしてこのたび、これらの成果をまとめる形で、1冊の本を出版できる運びとなりました。

立体折り紙アート

立体折り紙アート



折り紙に関するものとして、すでに「ふしぎな 球体・立体 折り紙」と「立体ふしぎ折り紙」という2冊の本を二見書房さんより出版させていただいていますが、今回はそれらとは違うコンセプトでまとめました。


ふしぎな 球体・立体折り紙立体ふしぎ折り紙


前述の2冊の本は、いわゆる「型紙集」であって、切り離して組み立てるタイプのものです。


出版時の思いとしては、


「こんな形が1枚の紙からできるんだよ。作ってみて!」


というものでした。


今回の


「立体折り紙アート - 数理がおりなす美しさの秘密」


は、サブタイトルの通り、これらの形がどのようにして作りだされたのかを説明する、言わば「タネあかし」のような内容になっています。


「ねえ聞いて。こんな方法で、こんなに綺麗な形が作りだされるんだよ。面白いね。」


というのが、本書を通して届けたいメッセージです。


これまでの研究を通して、1枚の紙を折るだけでも、実に様々な形が作れることがわかってきました。

これらの知見は、日本図学会の学会誌にて6回の連載を通して紹介してきました(これらの記事はこちらで公開されています)。

また、Flickrで公開している写真も240件を超えました。

ワークショップや展示会を通して、多くの方に見ていただく機会もいただきました。

できることは一通りのことをしてきました。

そろそろ1つの大きな区切りであるように思えます。


このようなタイミングで、1冊の本を出すことができたことは、とても光栄なことです。

出版社の日本評論社さまに感謝申し上げます。


収録されている内容は、日本図学会に連載した折り紙に関する事柄と、Flikerに収録されている写真(新しく撮りなおしたものも含みます)、それらすべての展開図、そして、それらをどのようにして設計したかの説明。さらには、5つの「作ってみよう」コーナーと、5つのコラム、と盛りだくさんです。これまでの研究の「集大成」と言っていいかもしれません。

展開図は、厚紙にプリントアウトしたり、カッティングプロッタをお持ちの方は、データから折り筋加工ができるように、PDF、DXF、SVG形式ですべて公開する予定となっています。


これまでの「集大成」なので、すでにWebなどで発表済みの内容も多く含まれます。

まったく新しい内容を期待される方には、申し訳ないですが、少し残念に思われるかもしれません。

この点は、ここでお伝えしておきたいと思います。




では、この本をどのような人に手に取って欲しいかというと、実はなかなか難しいです。

本当はよくないかもしれないですが、いわゆる「読者像」というものはあまり想定せずに、


僕に書けるものは書く、僕が書かなければいけないものは書く、


というスタンスで取り組んできました。



対象としている折り紙は、正方形に限定されません。

また、形を安定させるために仕上げる時にはノリで一部を貼り合わせる必要があるものがほとんどです。

折り線は、計算で求めたもので、時には曲線を含みますから、何もない状態の紙から簡単に折り出すこともできません。

一般的な「折り紙」とはかなり違ったものばかりです。


ですが、後から振り返った時に、1つの折り紙研究、創作における新しい分野の草分け的存在であると評価いただけたら、と夢見ています。

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Amazon の書籍のページ


以下に、本書の冒頭にある「はじめに」の全文を紹介します。


私たちの身近にある紙は,文字や絵を描くキャンバスとしてだけでなく,切って折って貼りあわせ

て形を作る,楽しい創作活動の素材としても,なくてはならないものの1つです.紙を自由に切り

貼りすることで,どんな形でも自由に作れそうな気がします.一方で,それを許さずに「折る」と

いう操作だけに限定すると,必然的に作れる形は限られてしまい,なにかの形を作るには少し窮屈

そうに思えます.でも本当にそうでしょうか.この「折る」という操作だけで形を作る「折り紙」の

世界を覗きこんでみると,実は幾何学と多種多様な表現がおりなす,不思議で魅力的な空間が広が

っているのです.


 紙を折って形を作る,遊戯としての「折り紙」は,日本において数百年もの歴史を有し,幅広い

世代に親しまれています.多くの人が幼少期に鶴や兜を折った経験をもっていることでしょう.長

い歴史の中で,折り紙の技術,つまり1枚の紙から意図した形を作りだす技術は進歩してきました.

背景には,折り紙に関する数学的な知識の積み重ねがあり,折り紙の「設計」に関する理論が作り

だされてきたことがあります.さらに,この設計に必要な計算を,コンピュータに行わせるための

プログラムが登場し,折り紙の世界は目覚ましい進歩を遂げました.


 幼少期の体験以降,折り紙に触れる機会が少なくなってしまっている読者の方もいると思います

が,そのような方にはきっと想像がつかないくらいに,21世紀の折り紙は驚くような進化を果た

しています.とくに,曲線に沿った折り操作,曲面をもった造形などは,コンピュータを用いるこ

とで実現した,新しい折り紙の分野と言えるでしょう.


 本書では「計算」によって導き出された,立体的な構造を持つ作品群を紹介するとともに,その

設計方法について解説を行います.多くは曲面を含む立体構造を持ち,いくつかは複雑な造形です

が,その背景にある理論は極めてシンプルです.一見した限りではまったく異なる造形の折り紙が,

共通の理論のもとに設計できることに驚かれることでしょう.本書では数多くの写真と,その設計

図である「展開図」を収録しました.これらの展開図はすべてインターネット上で公開しています

ので,どなたでもダウンロードして印刷することができます.


 そうそう,大事なことを書き忘れていました.本書で紹介する折り紙で使用する紙の形は,正方形

ではなく,長方形であったり正多角形であったりさまざまです.最終的な形を安定させるためにノ

リ付けが必要だったりします.少しだけルールを緩めることで,作れる形の幅は大きく広がります.


 本書を通して,平面に描かれた直線や曲線の集合から,幾何学的な美しさを持つ立体的な構造物

が折り出される妙を堪能していただければ,それに勝る喜びはありません.

http://www.amazon.co.jp/gp/product/4535787751/

15年06月18日(木) 折り紙建築の設計

小学生の頃、自宅にあった茶谷正洋先生の「折り紙建築」の本に感動して、収録されていた飛び出すカードをたくさん作った記憶があります。


折り紙建築型紙集―オリガミック・アーキテクチャー パターン・ブック

折り紙建築型紙集―オリガミック・アーキテクチャー パターン・ブック


切り取って作ったら無くなってしまうので、トレーシングペーパーに一生懸命写し取って、それをまた画用紙に写すという、手間ひまをかけて作ったものです。


拡大版を作りたくて、定規で測った寸法を元に計算したりしたものの、うまくできなくて泣きじゃくったのは、小学校低学年の頃の良い思い出です。


この「折り紙建築」と同じ原理の飛び出すカードを自分でも作りたくて、

ポップアップカードデザイナーとか、ポップアップカードデザイナーPROなどを大学生時代に開発したりしていました。

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http://www.tamasoft.co.jp/craft/popupcard/


自分で作っておいてなんですが、このようなソフトウェアがあれば、

飛び出す原理を知らなくてもあっという間に形ができてしまいます。


あとは、ソフトウェアが出力する展開図データを使って、カッティングプロッターで切り込みと折り筋を付ければ、

飛び出すカードができてしまうのですから、隔世の感があります。


昨日、気分転換に次のようなものを作ってみました。

久しぶりに作ったポップアップカードです。形に意味はありません。。

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展開図はこちら。

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これをTwitterで公開したところ、ポップアップアーティストの HIROKO MOMOI さんから、一部分が構造的に不安定のようだとご指摘いただきました。


HIROKO MOMOI さんは、驚くほど精巧で綺麗なポップアップを多数制作されてきた、ポップアップカードのプロフェッショナルです。

HIROKOさんのWebページ: http://www.geocities.jp/h_pdr/index-jp.html


ご指摘は正しくて、下図の左側のような構造が含まれていました。

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ポップアップカードを剛体パネルとヒンジの組み合わせだとみなすと、

上の図の右側は、自由度が1で、カードの開閉によって形が一意に決まります。

一方で、左側は自由度が1より大きく、形が一意に決まりません。

このような構造は、なるべく避けるのが望ましいです。


ところで、実際にポップアップカードを作ってみると、このような構造的な問題だけではなくて、

「紙の座屈」という材料力学的な要素も、作りやすさ(カード開閉時の安定度)に影響してきます。

それは、どのような要素だろうか? と少し考えてみたのですが、正直よくわかっていません。

とりあえず、次のような3種類の異なる要素が考えられそうです。

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(a) 機構に自由度が残されている ← 形が決まらない

(b) ヒンジに強い抵抗がある場合にパネルに影響を与える ← 座屈する

(b1) パネルが細長すぎる

(b2) ヒンジの抵抗が一様でない

(b3) ヒンジの抵抗力がまっすぐ伝達しない

(c) パネルの自重の影響が無視できない場合に問題がある ← たわむ


他にあるでしょうか?


折り紙建築のようなポップアップカードを自動で生成するような研究は過去にありますが、

上記のような力学的な観点からの考察は無いようです。

例えば。

Xian-Ying Li, Chao-Hui Shen, Shi-Sheng Huang, Tao Ju, and Shi-Min Hu.

Popup: Automatic Paper Architectures from 3D Models

ACM Transactions on Graphics (Proceedings of SIGGRAPH 2010), 29(4): article 111.

http://cg.cs.tsinghua.edu.cn/people/~xianying/Papers/Popup/index.html

HIROKOHIROKO 2015/06/18 20:36 三谷様
初めからこちらに書くべきでしたね。失礼しました。
ツイートの内容もこちらにまとめて各要素について経験則ではありますが、書かせていただきます。

(a)は明らかに正確に力が伝わらないのは明白なので、飛ばします。
(b1)については、不安定になるか否かを決めるのは「紙目」によります。
ただ、個人的な実験で、連量180kgのバロンケント(ツイートでは160kgと書いてしまいましたが、正しくは180kg)を使用し、紙目をパネルの長編と平行にした場合、正確に折れ曲がる幅はいくらか実験をした結果、1.5mmでした。1mmはダメでした。
また、紙目をパネルの短編に平行にした場合、成立はしましたが、予想通り、まっすぐ立つことなくたわみが生じる結果となりました。
(b2)については、当然ですが、ヒンジの抵抗を減らせば可能になります。故・茶谷正洋先生の「折り紙建築」において、折り線については「ハーフカット」する方法が紹介されていますが、ポップアップ絵本や紙箱などの業界では、折れ線が長くなる場合、折り線の合間に切り線を混ぜ抵抗を減らす技法が昔から採られています。折り線と切り線の間隔の入れ方については、状況によって様々なので、具体的な数値は答えられませんが、たとえば、50mmであれば、折れ線、切り線を、10mm間隔にするとか、15mm、20mm、15mmにするとか、一定の長さに達した場合に、折り線の総延長のおよそ1/2〜1/3を切り線にし、軽減すればだいぶ改善されます。
(b3)は、ヒンジの距離が一定以上離れたらエラーが出るようにしたいところです。
(c)は、紙の自重はあまり気にしなくてよいと思います。縦横を逆にした場合(b2)と似ています。ヒンジの距離で抵抗が変わってくるので、(b2)と同じ処理をすれば解決されると思います。

以上です。
説明が不十分で分かりにくい点があると思います。ご不明な点があれば、ご指摘ください。
よろしくお願いします。
HIROKO

JunMitaniJunMitani 2015/06/18 21:04 コメントありがとうございます!
普通は聞くことができないような、とっても貴重な情報と思います。

ここでの話は、実際にポップアップカードをたくさん作ったことがある人は経験的にわかりますが、そうでないと、なかなかイメージできないでしょうね。

紙の種類や、紙目の向きなどに依存するので、ある程度は実験などを通して妥当なところを探すことになるのだろうと思います。

あと、折り畳んだ時に、一部分だけ厚くならないようにするとか、考えるべきところは他にもあるかもしれないですね。

楽しい話をありがとうございます。

HIROKOHIROKO 2015/06/18 21:23 三谷様
こちらこそ、楽しいお話できてよかったです。
私は1枚から作る90度のポップアップは、先生と同じく、もう長らく作っておりません。
東京大学での6OSME展示でご覧いただいた通り、180度開閉の作品がメインです。

開閉の様子は、動画でしかご覧いただけませんが、目黒雅叙園にて6/28(日)まで展示が行われております。もしお時間ございましたら、是非ご覧くださいませ。
因みに、皆様には申し訳ないのですが、当方の在廊日は20日(土)13時〜16時前後のみです。

ありがとうございました。
HIROKO

15年04月10日(金) 「折りたたみペーパークラフト展」

深谷昌之氏の個展「折りたたみペーパークラフト展」が4月7日から12日までの間、「千葉市民ギャラリーいなげ」で開催されています。


f:id:JunMitani:20150414003346p:image

https://plus.google.com/events/cl9u7f29d7egu8bihqd9en7h8os


個展の名前を見ただけで「これは見に行かなければ!」と思い、さっそく展示会場へお邪魔してきました。


いざ行ってみると、上記のWebページで紹介されているような、面白い作品群がたくさん並んでいて、目移りしてしまいます。


「折り紙」とは違って、切り貼りをして形を作りますが、できた立体をパタンと簡単に折りたためて、それがまた、ピョコッと立ち上がったり、不思議な動きをする作品がずらりと並べられています。


と言っても、言葉では説明が難しいので、深谷さんがYouTubeで公開している動画を見るのが一番だと思います。

本当に面白いです。


D

これ以外にもたくさんの動画が公開されています。

https://www.youtube.com/channel/UCPxGDUrRMbdbUVTdeM249GA


会場では、作者の深谷さん自ら、1つ1つの作品の特徴を丁寧に説明してくださって、とてもよい勉強になりました。ありがとうございました。


実際に触ってもよい、というのが素晴らしいです。手で押して、形がパタンと一瞬で閉じてしまう様子を体感できました。こればかりは、実際に触ってみないとわからないです。


私の折り紙は、基本的に「動かない」ので、パタンパタンと動く様は、とても刺激的でした。動きを伴う機構は、今後の制作に、ぜひ取り入れていきたいと思いました。


仕組みとしては、紙の歪み無しで成り立つ形の状態が2つあって、その間を紙の歪みを許して遷移する、というもの。紙は歪みのある場所から、歪みの無い状態に自然と落ち着くので、少しの力で、2つの形の間をスッと移動するわけです。


以前に「10年11月20日(土) 星型オブジェを折り紙で作る」で、1枚の紙を切らずに作れる星の形を紹介したことがありますが、これは「平らな状態」と「星形に盛り上がった状態」の2つが安定状態なので、パタン、ポコンと、2つの状態の間を簡単に行き来します。


何か、作ってみたくなってきた!

というわけで、とてもよい刺激を受けたのでした。

深谷昌之深谷昌之 2015/04/14 01:13 三谷さん
詳細な紹介記事、ありがとうございます!
折りたたみクラフト作家 深谷昌之

15年04月01日(水) つくば市役所での作品展示

先日の、つくばメディアアートフェスティバルでの展示が無事に終わって、一安心しました。

幸い、多くの方に関心をもっていただくことができ、つくば市役所の庁舎でも作品展示を行わせていただくことになりました。

本日、4月1日から5月末までの間、研究学園駅前の庁舎の2階、文化振興課の前に作品をいくつか置かせていただいています。

市役所への用事があるときには、2階まで立ち寄ってみてください。

15年03月22日(日) 「つくばメディアアートフェスティバル」での展示

3月14日から22日の約1週間、茨城県つくば美術館にて「第1回つくばメディアアートフェスティバル」が開催され、

そこで折紙作品の展示をさせていただきました。


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オーストリア・リンツ市で開催される世界最大級のメディアアートの祭典「アルスエレクトロニカ」にて、

2011年に筑波大学のキャンパス展があり、それの凱旋企画という位置づけで、当時出展された作品を中心に、

筑波大学関係者の方々の作品が一堂に展示されました。


電子デバイスを駆使した体験型の展示が多い中で、私の折り紙作品は異色の存在でしたが、2011年当時に比べると、より高度な技術で設計された折り紙作品も増え、

広いスペースにたくさんの作品を並べることができました。


私の折り紙作品の写真は、主にはFrikerで公開していますが、

https://www.flickr.com/photos/jun_mitani/

その中でも代表的な作品で綺麗な状態で実物が保管されていたものを選んで並べました。


幸い、展示場所が大学から近かったこともあり、セットアップの期間中に何度も大学と美術館(と、近くのホームセンター)を往復し、あれやこれやと現地で試行しながら、満足のいく展示にすることができました。


展示では、折りによる陰影が綺麗に出るように、全体的に暗いスペースに、スポットライトでの照明をあててもらいました。

展示台の上には、作品とともに、立体的な形を折り出すために用いた折り線パターンも一緒に並べることで、1枚の紙と線のパターンだけから、複雑な形が折り出されることを示しました。

また、いくつかの作品の中に、小さなライトを入れることで、少し楽しさを演出してみました。

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1枚の紙から折っている様子がわかるように、折りの工程がわかるような展示もしました。

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作品群とともに、それらを制作している様子を早送りした動画、21_21での展示の時に映像プロダクションのWOW社に制作いただいたCG映像なども上映し、私が出すことができるものすべてを見ていただきました。


これまで研究室の片隅に保管されていた作品たちを、多くの方の目に触れる場所に並べることができたのは、とても有難いことです。

連日、なるべく美術館に顔を出すようにしたので、鑑賞くださった方ともたくさん話をすることができ、とても有意義な展示会とすることができました。


私の展示以外のものについては、こちらの記事で紹介されています。

【記念すべき第1回目の開催で注目度☆3つ】 「つくばメディアアートフェスティバル」 - つくば、ホンモノ!夢特区


展示物の搬入・搬出のお手伝いをしてくれた研究室の学生さん、展示に関わる諸々をご担当くださった、つくば市役所の市民部 国際・文化課 文化振興係の皆さん、アルスエレクトロニカの頃から、展示のお声をかけてくださり、このようなイベントの機会をくださった岩田先生、関係者の皆さまに感謝申し上げます。


また、お忙しい中、わざわざ遠方から展示を観にかけつけてくださった皆さま、ありがとうございました。



↓展示終了後の片付け風景。広いスペースをお借りすることができました。

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15年03月20日(金) 数学ソフトウェアとフリードキュメント XX

明治大学で開催された

「数学ソフトウェアとフリードキュメント XX」

http://www.mathlibre.org/msfd/20-ja.html

という日本数学学会の方々が参加するワークショップに御呼ばれして、折り紙設計のソフトウェアの紹介をしてきました。


一般の講演では「折り紙の設計には数学を使うんです」って言うだけで、へー。と言われるのですが、

今回は数学研究のプロの方々の前で話すということで、なんとも恐れ多い気がしました。


というわけで、あまり数学的な話はせずに、これまでに取り組んできた折り紙研究の内容を幅広く紹介し、

ソフトウェアのデモを多数お披露目しました。

皆さんとても興味をもってくださったようで、質問もたくさんいただくことができました。


数学分野の方にも是非、折り紙の研究でご一緒したいです。


ワークショップで聴いてきた話。


濱田先生

MathLibre と GeoGebra の使い方。そのデモ。


橋本先生、

TikZ を使って、TeXに図を埋め込む方法の紹介とデモ。


中川先生、

LaTeXでマーク式テストの解答用紙を作成する方法の紹介。

問題をランダムに生成することで、カンニング不可能な個別問題作成ができる。採点も自動。


久我先生、

Coqを用いた証明の形式化について紹介。

15年03月19日(木) 情報処理学会「情報処理と折り紙」

京都大学で開催された、情報処理学会 第77回 全国大会でのイベント企画

「情報処理と折り紙」

http://www.gakkai-web.net/gakkai/ipsj/77program/html/event/A-9.html

に参加しました。

三浦先生、萩原先生、奈良先生、三谷、舘先生の順で、それぞれの折り紙に関する研究の取り組みについて講演しました。

まさに折り紙研究の第一人者と呼ぶにふさわしい方々が、それぞれに異なる方向から折り紙の研究を幅広く紹介し、示唆に富んだ有意義な集まりでした。


三浦先生

ミウラ折りとして広く知られる、平行四辺形が並んだパターンが、数値シミュレーションによって見出されたことを紹介。限りなく薄い弾性板を四方から等しい力で圧縮した時にどのような形が得られるかを計算した結果として、山谷が規則正しく並んだパターンが出てきた。これらは2次元の折り紙であって、最近ではボリュームのある立体を折りたたむことにも取り組んでいる。


萩原先生、

工学への応用に対する取り組みの紹介。折りの構造を入れることで、素材の強度を高めたり、逆に衝突時のエネルギーを上手に吸収する目的などに活用できる。しかしながら、産業応用のためには、製造コストを低くしなければいけない点が難しい。最近では、素材を「ロボットに折らせる」ための研究に取り組んでいる。


奈良先生、

閉じた多面体を平らに折りたたむことは不可能であることが証明されているが、折りたたみの過程でエッジ(折り線の位置)を移動させることができるのであれば、折りたたむことができる。移動するエッジのことを、swimming edges, または traveling hinges などと表現する。このような構造を入れることで、正多面体を平らに折りたためることを示した。なるべく、エッジの移動範囲が少なくて済むようなたたみ方を研究している。


三谷、

対話的な操作で形を編集でき、リアルタイムで完成形がビジュアルに提示されるような折り紙設計システムがあることで、試行錯誤に基づく折り紙の創作が可能となる。そのような、創作を支援する多数のソフトウェアを、デモを通して紹介。


舘先生、

第6回折り紙の国際会議でのセッションを例に、折り紙研究の範囲を幅広く紹介。立体が折り紙で作れるための制約としての、可展性、可畳性について紹介し、ミウラ折りが対称性に基づく特殊な剛体折り可能なパターンであることと、その対称性を崩しても剛体折り可能なパターンを作れることなどを示した。これまでに制作した展示物の紹介と、直交する異なる2つの方向から押しつぶして畳める立体構造の実物を提示。

15年03月03日(火) 格子パターンの折りたたみ方の数え上げ(3)

折り紙の話。


折り紙の各辺を4等分するようにして折って、

あとは対角線に平行な斜めの線を折ると、次のような格子パターンができます。


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さて、この格子の中には「平坦に折りたためるような、折り線のパターン(展開図)」がいくつ隠されているだろうか?

ということを考えて、早2年半。

2012年5月のブログ


その数は約2億6千万通り (2014年12月時点の計算)であることがわかりました。

2014年11月のブログ

↓こんな感じのものが2億6千個! いずれも平らに折りたたむことができる。

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そうすると、当然気になるのが、

「この約2億6千万通りの展開図を全部折りたたむと、どのような形が出てくるだろうか」

という問題。


これを修士2年の山本陽平君が、解決してくれました。


私が10年くらい前に開発した、展開図から折った形を計算するソフトである「ORIPA」を改造して、

誤差無しで、ユニークな形を列挙するようにしてくれたのです。


約2億6千万通りの展開図をひたすらORIPAで折る。折った形を保存する。

折る。折った形を保存する。

という計算を60時間かけて実行し、その結果、得られた結論は

13,451個

でした!

こんな感じの形が1万3千個。

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展開図は2億6千万通りありますが、「折りたたんだ結果、同じ形になる」という展開図がたくさんあるので、得られる形は少なくなります。


たとえば、異なる1700万以上の展開図が、結果として次の形に折りたたまれました。

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次の形は、そんなに単純ではないけど、約960万の異なる展開図から作り出されます。

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一方で、次の形になる展開図は唯1つしかありません。

2億6千万通りもある展開図のうちの1つだけが、次の形に折りたたまれます。とてもレア。

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(↑ 「この形を折ってみましょう」という問題はとても難しい。)


今回の実験で、

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をいろいろ折ることで、約1万3千個の形を折り出すことができることがわかったのです!



さらにさらに、山本君は、得られた形には、どのようなものがあるかを検索するツールを開発しました。

↓ 「だまし舟」の形を入れると、その展開図が出てくる!

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↓「かざぐるま」の形も出てくる。

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↓でも、無理な形(どうやったって折り出せない形)を入れると、「NOT FOUND」と言われる。

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その結果として、アルファベット26文字と数字10文字の形に折りたたまれる展開図を発見しました。

すごい。

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展開図には山谷の区別がつけられていないので、実際に折るのはなかなか大変ですが、

確かにアルファベットの形に折りたたまれることは確認済みです。


ということで、次のような格子パターンからは、どんな形が折り出されるだろうか。

という2年越しの問題が解決したのでした。

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こんなシンプルなパターンから、アルファベットや数字、その他、たくさんの形(1万3千個)を作りだすことができるのです!



※ 形の全13,451パターン、および検索ツールは、次の山本君のWebページで公開されています。

http://www.npal.cs.tsukuba.ac.jp/~yamamoto_y/



(追記 2015/3/10)

得られた形の数について誤りがありましたので訂正しました。

15年02月07日(土) 見る方向によって正三角形・正四角形・正五角形が現れる立体

球以外の立体は、見る方向によって異なる輪郭線が見えます。

試しに、正三角形、正四角形、正五角形が現れる立体(多面体)を作ってみました。

D

CGだけではなんなので、実際に作ってみました。

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(望遠レンズで撮影するともっと綺麗に正多角形が見えると思うのだけど。)


紙模型を作るのに使った展開図はこんな感じ。

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2つの異なる形が見えるようにするのは簡単なのですが、3つ(今回は正三角形、正四角形、正五角形)の形が見えるようにするのは簡単ではありません。


基本的には、互いに交差する正三角柱、正四角柱、正五角柱から、ANDを取ればいいのだけど・・


実際は、下の図のように、それぞれの角柱を少しだけ傾けてからANDを取っています。

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以下、簡単な説明。

まず、上の図のように角柱を配置したとして、正三角形が上面、正五角形が正面、正四角形が側面であるとします。

3つの多角柱でANDを取るとき、それぞれの多角柱が他の多角形の輪郭を削り取ってしまわないようにするために、次のような条件を満たす必要があります。

・正三角形と正五角形の幅(W)が同一である

・正三角形と正四角形の奥行(D)が同一である

・正五角形と正四角形の高さ(H)が同一である

正四角形はどのように回転させても、高さと奥行きが1:1の比になるので、H=D。

つまり、正三角形と正五角形を適当に回転させて、正三角形と正五角形の幅 W を等しく保ちつつ、

正三角形の奥行Dと正五角形の高さHが等しくなればよい。

D=Hである必要があるが、H!=Wで構わない。しかし、正三角形と正五角形は、適当に回転させれば正方形に内接できるので、D=H=Wとする。


詳細は省いて、結果として正三角形を15°、正五角形を9°だけ回転させると上記の条件を満たす。


では正方形はどれだけ回転させればよいか?

これまた詳細をかなり省いてしまって、必要なカドが残るようにするには、側面図において、四角形の角が下図の赤丸を通るようにする必要がある。

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これを計算すると約6.564°傾ければよいことがわかる。

(下図のような感じでゴリゴリと求める)

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それぞれの角柱の外接円の半径についても計算すると、

正三角柱を1とすると、正四角柱は0.85、正五角柱は0.89とすればよい。


いずれも簡単な三角関数が扱えれば求まってしまいます。


このようにして設定した角柱間のANDを取ると、実は綺麗な多面体にならずに、微小な長さの辺がいくつか残ってしまうので、

前述の紙模型は、このような誤差を無視して、面の数を12に抑えて作ったのでした。

15年01月07日(水) SS研座談会 2045年、コンピュータが人間を越えた時

サイエンティフィック・システム研究会の座談会に初めて参加させていただきました。

http://www.ssken.gr.jp/MAINSITE/event/2014/20150107-tabletalk1/index.html

テーマは「2045年、コンピュータが人間を越えた時」。

レイ・カーツワイルの著書「The singularity is near」では、すさまじい勢いで性能が向上しているコンピュータが、やがて人類すべての頭脳の計算能力を凌駕するのが2045年であるとされています。

この時を超えると、コンピュータは人知の及ばないところで自ら勝手に進化し続けるため、その先の未来は予想がまったく不可能になる。そんな技術的特異点(シンギュラリティ)まで、あと30年しかない、という現在において、その将来を参加者のみんなで予測し語ってみよう、という試みです。


ちょうど今、NHKスペシャルでは2045年を予測した「ネクストワールド」が放映されていて、情報処理学会の2015年1月号では、このシンギュラリティの特集が組まれるなど、この話題は、今まさにホットなテーマとなっています。


この座談会に最初に声をかけていただいたときは、私などが参加してよいのだろうか。なぜ声をかけられたのだろうか。と不思議に思いましたが、ちょうどレイ・カーツワイルの著書を読んだばかりだったので、よいタイミングと思い参加させてもらうことにしました。

当日は、様々な分野からの参加者が、独自の視点からの未来予想を語っていて、とても楽しい時間を過ごすことができました。

30年前の様子と現在を比較して、30年後の未来も現実的なところに落ち着くだろうという予想が出る一方で(私もどちらかというと現実派)、カーツワイルの言うように進歩の速度が加速度的なので、30年後には人類は「死」すら超越している、というSFの世界が実現することを前提とした思考実験もあったりして、普段平和に折り紙をしている私には刺激的な会でした。

参加者皆さんは、どなたも非常に個性的で、まったく新しいコミュニティに参加できたことが、とても嬉しかったです。


この座談会の様子は、近々YouTubeで公開されるそうです。私の話はとても恥ずかしいので、そこだけ飛ばしてもらえればと思うのですが、他の方々の話は、一度聞いてみる価値が十分あると思います。

15年01月01日(木) 謹賀新年

2015年が始まりました。

どうぞ今年もよい1年でありますように。

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14年12月28日(日) イスラエルでの折り紙イベントの報告

12月18〜20日の3日間に行われたイスラエル折り紙コンベンションに招待いただき、前後併せて9日間、イスラエルに滞在してきました。

イスラエル折り紙センターを運営している、ミリ・ゴランさんとポール・ジャクソンさんご夫妻の厚意で、滞在中は移動から食事まで行動をご一緒させていただきました。イスラエルというと安全を気にされる方が多いと思いますが、コンベンション前後はミリさんポールさんのご自宅に宿泊させていただき、11歳のジョナサン君と共に、平和であり、かつエキサイティングな日々を過ごさせていただきました。

というのも、スケジュールが驚くほど過密で、まさに次から次へとワークショップと講演をこなす必要に迫られる毎日でした。ミリさんとポールさんが、盛りだくさんな企画を立てており、コンベンションでの3回のワークショップと2回のトーク以外にも、Shenker大学とHolon大学での講演とワークショップ、さらには小学校で算数を教えている先生120名を対象とした講演とワークショップも行いました。


ミリさんはイスラエル折り紙センターの運営を主に行っていて、折り紙や本の販売、ワークショップの開催などを行っています。また、20年以上の学校教育の経験があり、幼稚園でのアクティビティや小学校低学年の算数教育に折り紙を導入することに熱心な活動を行っています。

ポールさんは、イギリス人の折り紙作家ですが、イスラエルに移ってからは、折り紙の創作活動や本の執筆とともに、デザイン大学での授業を受け持っています。ポールさんの書籍「Folding Techniques for Designers: From Sheet to Form」の日本語訳「デザイナーのための折りのテクニック 平面から立体へ(文化出版局)」の監修を私が担当させてもらったご縁で、親しくしていただいています。


折り紙コンベンションは80名ほどの参加者だったということで、私のワークショップには各回20名くらいの参加がありました。このワークショップでは、予め準備しておいたテンプレートを用いて、曲線を含む折り紙の体験をしてもらいました。伝統的な「正方形の紙を折る」というものと異なるので、多くの参加者が驚いていました。その分、準備の方は大変だったようで、ミリさんポールさんには大変なご苦労をしていただきました。まず、厚紙で作ったテンプレートを紙の上に乗せて、先の堅い木製のスティックでなぞって折り筋を付けます。その後、折り筋に沿って山谷の向きに注意して折っていきます。形を安定させるために、のり付け(両面テープを使用)するので、ちょっと普通の折紙と違いすぎたかもしれません。曲線を折るのはなかなか難しいのですが、みなさん根気よく丁寧に取り組んでいました。


Shenker大学とHolon大学は、どちらもデザイン系の大学ということで、非常に高い関心を持って話を聞いてもらうことができました。ポールさんの話が上手で、場を盛り上げていただいたので、会場は楽しい雰囲気でした。いくつかの折紙設計用のソフトウェアのデモを行い、喜んでもらえました。ここでも、長方形の紙で球体を折り上げる体験をしてもらいました。みなさん、手を動かしてものを作るのが得意なようで、とても綺麗に仕上げていました。


小学校で算数を教えている先生への講演とワークショップでは、立方体の作成をしました。教材に折り紙を活用することを提案しているミリさんの活動の一環で、それに協力するような形での参加でした。折り紙と幾何学は密接な関係がありますから、初等教育における簡単な図形の学習に、折り紙を使うのはよい試みだと思います。適当に折り紙で遊ぶのではなく、「何を学習するのか」「そのために、何を折るのか」ということを、しっかり考えた教材を、それぞれのテーマで約10回分相当の授業教材を整備している点に感心しました。ヘブライ語で整備された折り紙を使った算数の教材が、近い将来に、イスラエルのたくさんの小学校で活用される見込みだそうです。


また、24日には、在イスラエル日本大使館が間に入っての、パレスチナAlQuds大学訪問も行いました。理工系の大学で、学内には数学ミュージアムがあり、楽しく見学させていただきました。ちょっとした数学のトリックを使った問題がたくさんあったのですが、私が知っているものが多く、出された問題にはパパッと回答することができました。現地で館内の展示を紹介してくれた方が、ビックリしていました。コンピュータサイエンスの大学教員として、日本の体面をどうやら保てたようです。

イスラエルとパレスチナは大きな壁で隔てられています。この壁がいろいろな紛争の原因にもなっているのですが、壁の内外では街の風景がまったく異なりました。両国ともに、私の訪問をとても温かく迎えてくれましたが、両国を移動している人間に対しては、やはり複雑な感情を持っているように感じました。

日本大使館の協力により、まさに敵対している2国間を訪問するという貴重な体験をさせていただき、中東の込み入った現状を肌で感じることができました。移動中は大使館の方から、日本の外務省の仕事の話や、イスラエルその他、他の国の様子など、たくさんの話を聞かせていただきました。私はもっぱらコンピュータサイエンスの分野で研究をしている人間ですから、まったく異なる分野の話がとても興味深かったです。研究者としては、狭い分野を突き詰めることが大事ですが、一方で、大使館で活躍されている方のような、世界と時代を俯瞰するような広い視野も持ちたいものです。


イベントが無いのは、滞在中で、ただ1日でした。この日には、ミリさんポールさんにエルサレムの旧市街を案内していただき、また死海へも足を延ばしました。たった1日での観光なので、まさに弾丸旅行と言っていいもので、エルサレムの岩のドームや嘆きの壁など、大事なスポットを大急ぎで見て回りました。観光ブックやテレビのスクリーンを通してしか見ることができなかった宗教スポットを、実際に見て触れることができたのは、大きな衝撃でした。ここで自分が見てきたものは、いったい歴史的にどのような意味があるものなのか、また後でゆっくり振り返りたいと思っています。

死海は肌寒い気候だったものの、やはり来たからには泳がねば。ということで、震えながら水に入ったのですが、冷たさよりも足の裏の痛みに驚かされました。湖底がすべて塩の結晶になっているので、歩くと痛いのです。すぐに仰向けになって、プカプカ浮かびながら移動しました。海抜マイナス420メートルと言う、不思議な場所での不思議な体験でした。塩水を口に含むと、思い切り吐き出さずにはいられないほど刺激的な塩辛さでした。


イスラエルに滞在している間は、目が回るような忙しさでしたが、皆さんにとても親切にしてもらいました。いろいろな人に、たくさん話しかけていただき、楽しく充実した日々でした。時間にルーズで、いろいろなことがきちんとしていなくて、日本のような清潔さと正確さがない、ゆるーい、てきとうな感じで、そのおかけで多少の失敗も恐れずに、下手な英語でも、どうにかこなすことができました。ワークショップに参加していた子供たちは、とても気さくに笑顔で話しかけてくれました。


折り紙の研究をしていたら、どういうわけかイスラエルでたくさんの人と交流することができました。素晴らしいことだと思いました。


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Holon大学での様子。


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エルサレムにてポールさんと。

14年11月13日(木) 格子パターンの折りたたみ方の数え上げ(2)

今から2年半前に、次のようなパターンには、「平坦折り可能な折り線のパターン」がいくつ隠されているだろうか?

というようなことを考えたことがあります。

当時のブログ

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平坦に折りたたみ可能なパターンの数は、(対称性や回転によって重なる事例を考慮せずに)単純に数え上げると166,254,336通りであるという結論を出したのですが、これが誤りであったことがわかりました。ああ。。


この誤りを指摘してくれたのは、研究室の山本君。

私が当時に挙げた平坦に折りたためる基本構造(下図)に不足があったということでした。

↓当時に挙げた平坦折り可能な基本パターン

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不足していたのは下図に赤で追加した8つのパターン。

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指摘されてみれば、まさにその通りで、どうしてこれを見落としていたのだろうか。。

山本君は、実際に折り紙を折って確認していたようで、やはり手を動かして確認しないとダメですね。


当時のプログラムコードをひっぱりだして、新しく追加した基本パターンを考慮して数え上げて、バグを見つけて修正して

さらに機能追加して対称性による重複を除外したところ、次のように結果が変わりました。

(局所平坦折り条件を満たしているパターンです)

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4x4の構造の場合 259,650,300通り (2014年12月時点の計算)

というわけで、冒頭の折り線パターンには、局所平坦折り条件を満たしているユニークなパターンが約2億6千万通りあることがわかりました。

これから、大局的に折れるパターンを拾い上げて、折った後の形を調べると・・・どれくらいの数になるのでしょうか?

引き続き山本君に頑張ってもらいましょう!

14年11月12日(水) イルカの紙模型

研究室に所属する4年生の細田君がペーパークラフトに関する研究に取り組んでいます。

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ペーパークラフト用の展開図を作ろうとしたときに、最近では3DCGソフトでポリゴンモデルを作って、それをペパクラデザイナーで展開図にするのが一般的です。

ポリゴンモデルがあまりに多くの面で構成されている場合には、現実的に作れるくらいまでに面の数を減らすことを行います。

だいたい百ポリゴンくらいが、楽しく気軽に作れるレベルでしょう。


で、そのようにすると、ポリゴンのカクカクが目立って、あまりきれいに仕上がりません。


ペーパークラフト作家さんは、うまく紙を曲げて曲面を表現します。


そこで、研究テーマとして、可展面の集合でうまく立体を作りだすことに取り組んでみました。

結果として得られた展開図を(指導教員である私が!)組み立てたのが冒頭の写真。

従来のポリゴンモデル(手前)と違って、滑らかで綺麗な曲面モデル(奥の方)が作れました。

4年生が今の時点でこれだけの結果を出せるのは立派。詳しくは、今月末に行われる日本図学会の大会で発表の予定です。


折り紙も楽しいけど、ペーパークラフトも楽しい。

14年11月06日(木) これまでに作ってきた折り紙作品

来月、イスラエルで開催される折紙コンベンションへ招待されることになり、いろいろと準備を進めています。

一般参加者向けのワークショップやら、算数・数学の先生向けの講習、大学生向けの講演などなど、招待くださったポール・ジャクソン氏のはからいで、なにやら盛りだくさんな内容になりそうです。

それと同時に、折紙作品の展示もしてくださるそうで、これまでの代表的な作品を段ボールに詰めて航空便で送ることになりました。

そのためにかき集めてきた作品群。

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これだけ並べると、なかなか壮観です。

これらが、段ボール2つに入ってしまいました。そして、何より軽い。

宅配便でお願いすると、段ボール箱があまりに軽いので、担当の人によく驚かれます。


壊れることなく、無事に届きますように。