クリーネ・スターと片側S行列

次の対応を考える。

力学	幾何学	状態遷移系	DFD
配位空間	多様体	状態空間	離散空間
相空間	接バンドル	仮想遷移の全体	完全グラフ＝直積
力の場	接ベクトル場	ラベル付き遷移	辺ラベル
ラグランジュ関数	接バンドル上の適切な関数	?	対数型加法的辺ラベル

状態空間の点は状態点だが、状態空間で定義されたスカラー値関数を状態関数と呼ぶことにする。スカラーは状況に応じて適切に選ぶが、離散系のときは二値ブール代数をスカラーとすることが多い。

「状態点→状態関数」への一般化は、「質点→波や熱」、「決定性遷移→非決定性遷移」といった拡張に対応する。点をδ関数と同一視し、それをδ以外の関数（分布）にすることだな。質点の軌道（運動経路）は、分布（例えば波）の時間的な変化（伝搬現象）になる。

力の場は状態点だけでなく状態関数にも作用する。これは、状態関数の全体を表現空間と考えて、作用素環（半環）の表現になっている。Aが力の場なら、それは力学系の生成作用素であり、時間を進める駆動力でもある。Aを作用素環の元と見て、指数関数E(A, t) = exp(γAt)を作る（γは適当な定数）と、E(A, t)がAで生成された力学系の時間発展を与えることになる。E(A, t)はtに関して半群になっており、作用素の空間内で線形力学系を定める。

E(A, t)のtを∞にしたE(A, ∞)をS(A)と書くことにする（S行列のつもり）。S行列は、無限の過去と無限の未来を結ぶ変換らしいが、ここでは過去を考えないので、初期時点0と無限の未来を結ぶ変換とする。S(A)は、定義から、作用素の空間における吸引点、安定点になる。ただし、S(A)が存在するかどうかはAに依存する。

S(A)は、状態空間に作用する作用素で、状態関数φに対して S(A)φ はAの不動点である。なぜなら、A(S(A)φ) = [A・E(A, ∞)]φ = [E(A, ∞ + 1)]φ = E(A, ∞)φ = S(A)φ 。よって、S(-)は不動点演算子になっている。

以上の状況を離散空間／離散時間で考えると、半環値のラベル付き隣接行列Aに対して、それを力学系の生成作用素とみなせば、Aのクリーネ・スターが片側（未来のみ）のS行列に対応する。状態関数φにS(A) = A^* を作用させた A^*φ が 1+A の不動点となる。つまり、力学系Aにおいて、初期状態φから出発しての無限の未来＝安定状態を与える作用素がクリーネ・スターとなる。