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メビウスの反転公式
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メビウスの反転公式

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競技プログラミング日記•1年前

AtCoder Beginner Contest 304F問題

ABC304F 解法 約数系包除原理，メビウス関数． エラトステネスの篩と同様にして，メビウス関数を作る． \(f(d) := \)最小周期 \(d\) に対する場合の数， \(F(d) := \) 周期 \(d\) に対する場合の数 とする． \(F(d) = \sum_{e \vert d} f(e)\) が成り立つ． また，\(F(d)\)は別の方法でも計算できる． \(i \in D\) のうち，\(s_{I}\)の中に '.' が存在しない 物の個数を \(m\) とおいて， \(F(d) = 2^{m}\). ここで，\(I = \{ j \in N \ \vert\ j \equ…

#メビウスの反転公式#AtCoder#AtCoder Beginner Contest#約数系包除原理

関連ブログ

とぽろじい　～大人の数学自由研究～•4年前

【組合せ論】メビウスの反転公式6　「(応用例)包除原理/オイラーの多面体定理」

前々回、poset におけるメビウスの反転公式を証明しました。 (前々回の記事に関しては下にあるリンクをご利用ください。) 前回は応用例として古典的なメビウスの反転公式と差分と和分の関係を紹介しました。 今回は包除原理(inclusion-exclusion principle)の証明を前半で行い、後半でオイラーの多面体定理との関連を紹介したいと思います。 ※多面体定理に関してはメビウスの反転公式と初等数学を組み合わせて証明をしようと試みたのですが上手くいかなかったので、関連の紹介にとどめてあります。予めご了承ください。 math-topology.hatenablog.com 包除原理 オイ…

#数学#組合せ論#メビウスの反転公式#包除原理#オイラーの多面体定理
とぽろじい　～大人の数学自由研究～•5年前

【組合せ論】メビウスの反転公式5　「(応用例)古典的なメビウスの反転公式/差分と和分」

前回、poset におけるメビウスの反転公式を証明しました。 (前回の記事に関しては下にあるリンクをご利用ください。) これを用いて、今回からは高校数学でも出会うような「初等的な結果」を導いていこうと思います。 今回はこのシリーズの初回で紹介した古典的なメビウスの反転公式の証明を行います。 また、後半には差分と和分の関係をメビウスの反転公式の結果として与えようと思います。 math-topology.hatenablog.com 古典的なメビウスの反転公式 差分と和分 参考文献 まとめ 次の記事 まずはメビウスの反転公式の確認です。 定理(メビウスの反転公式) を Poset とする。 任意の…

#数学#サイエンス#メビウスの反転公式#Poset#差分#和分
とぽろじい　～大人の数学自由研究～•5年前

【組合せ論】メビウスの反転公式4　「 Poset における メビウスの反転公式の証明」

いよいよ今回は Poset におけるメビウスの反転公式を証明しようと思います。 証明の肝となるのは、 zeta function (ゼータ関数、ζ関数) の逆元として Möbius function (メビウス関数)が与えられることです。 このことは前回に詳細を紹介していますので、気になる方は前回の記事をどうぞ。 math-topology.hatenablog.com メビウスの反転公式と証明 証明の気持ち 参考文献 まとめ 次の記事 メビウスの反転公式と証明 早速ですが、主張は以下のようになります。 定理(メビウスの反転公式) を Poset とする。 任意の の元 に対して の部分集合 …

#数学#サイエンス#メビウスの反転公式#隣接代数#Poset#組合せ論
とぽろじい　～大人の数学自由研究～•5年前

【組合せ論】メビウスの反転公式2　「 Poset における incidence algebra(隣接代数)」

本格的にposetでのメビウス反転公式に向けての準備を始めていきます。 今回はposetの定義および poset 上の incidence algebra (隣接代数)の定義を行います。 ※証明は最小限にとどめていますので、何かあればご連絡ください。 (前回は、古典的なメビウスの反転公式について軽く触れました。) math-topology.hatenablog.com 定義と具体例 例1(自然数と大小関係) 例2(自然数と約数) 例3(実数と大小関係) 例4(冪集合) 例5(3次元凸多面体)*3 Locally finite poset Incidence algebra(隣接代数)とCon…

#数学#サイエンス#メビウスの反転公式#Poset#組み合わせ論#隣接代数
とぽろじい　～大人の数学自由研究～•5年前

【組合せ論】メビウスの反転公式1　「導入：整数だけじゃない、メビウスの反転公式で高校数学を俯瞰する」

このシリーズでは高校数学でも話題となることがある(古典的な)メビウスの反転公式について、より一般化された形で導入し、高校数学に出てくる複数の公式を包括的・横断的に証明しようという目論見のもと書いていこうと思います。 ↓YouTubeで概要を動画にまとめました(2023.5.26) math-topology.hatenablog.com 【本シリーズのレベル】 大学数学 【本シリーズに対する予備知識】 高校数学(現行教育課程のⅠAⅡBまで) 集合と位相(冪集合が分かる程度。なくてもいけるかも。) 群論・環論(知っていると納得しやすいが必須ではないです) 【参考文献】(随時追加予定) [Sta]…

#数学#サイエンス#メビウスの反転公式#包除原理#オイラーの多面体定理#組合せ論