巡回群

Bing Image Creatorによって作成 はじめに 群論 環 躯 ベクトル空間 チルンハウス変換 超冪根 可解群 ガロア群 アーベル＝ルフィニの定理の証明 おわりに はじめに 一般的な二次方程式や三次方程式は、根号や立方根を使って代数的に解くことができるが、五次方程式はどんな形でも代数的に解くことができる公式は存在しない。 これは、数学史上最も有名で難解な問題のひとつである。 この記事では、五次方程式に解の公式が存在しないことを証明するために必要なガロア理論という数学分野の基礎的な概念や手法を紹介する。 その後、五次方程式に解の公式が存在しないことを示すアーベル-ルフィニの定理について…

コンテスト終了から 8 秒後の AC で泣いた。でも、分割統治 FFT が自力で書けてよかった。想定解法は FPS だった。 問題へのリンク 問題概要 次の問題がある。 の順列 と が与えられる。 これらをもとに次のように、頂点数 、辺数 の有向グラフを作る。 頂点 から頂点 へと、重み の有向辺を張る このグラフから何本かの辺を削除することで閉路を含まないようにする。削除する辺の最小コストを求めよ。 この問いに対して、Alice と Bob は次のように考えた。 Alice： の順に、辺 がもし閉路に含まれるならば削除するという Greedy 解法 Bob： の順に、辺 がもし閉路に含まれる…

数学セミナー2023年8月号に「強非周期タイルの発見」(秋山茂樹)という記事がある。 内容は，発見者による以下のサイトに記載されている。 An aperiodic monotileAn aperiodic monotile 1枚のタイルで非周期的にどこまでも平面を埋めることができるという，この手のパズルが好きな人には驚愕の発見だ。発見過程でコンピュータを駆使しているところに現代的な雰囲気があるなーと思う。で，それとは別に「数式は言葉なんだな」と感じたことがある。 数学セミナーの記事中に以下の記述がある。 数論を学んだ人には分かりやすいのだが，六角格子の頂点間距離はという整数係数二次形式の平方根…

前回，星先生の，「絶対ガロア群による数体の復元」を見ていました．§２以降は，復元アルゴリズムについて書いていますが，かなり技術的詳細に踏み込むため，後回しにして，先に，「宇宙際」の部分について見てみることにしましょう．（繰り返しますが，このブログは解説ではなくて，ただの自分の勉強記録なので，間違いがたくさんあると思います！） 加藤先生によるIUTの解説では，宇宙と宇宙の間で，「対称性通信」を行うと説明されていました．この対称性通信について現時点では直接的に勉強するのは難しいので，まずは「簡単版」で雰囲気だけ見てみることにしましょう． まずはガロア理論に関する例で，望月先生の「数論的Teichm…

１：位数(群の元の個数）が素数の群は巡回群であることを示す。 まず、Lagrange's Theoremを考える。 「Gを有限群、HをGの部分群とする。すると、|H|は|G|を割り切る」 Gの位数が、左剰余類の要素数とHの位数の積と等しい。 これによって、元の位数は、Gの位数を割り切る。 それにより、位数pの群の元は、pの約数だが、pは素数なので、1かpとなる。 位数が1なのは、単位元のみ。 よって、他のp-1個の元は位数pである。 ここから、元の問題に戻ると、位数pの集合には、p-1個の位数pの元がある。 その一つを取り出すと、それは位数pなので、群を生成する。 つまり、位数が素数の群は、巡…

10じくらいに起床． お弁当作ったりそば茹でたり家事したり響けユーフォニアム見たりして12じ．全休だけど大学に向かった． 数学図書館で17:00まで鈴木「群論(上)」を読んでた．有限群のことめっちゃ書いてある．(下)はあんまり見てないけど表現論の応用とか書いてあるはず．わりと数論序説とかの説明は見通し良くなったハズ．群論に寄り道しすぎたけど．巡回群大事ですね． 杉浦「Jordan標準形と単因子論」とかもそうだけど、表現論の先生が書く表現論メインじゃない本っていいですよね． 集中力が切れてだるくなってくる．甘いものが食べたくて生協に向かう． セミナー室でぼっちで激うまパルムを食べた（最近現実の人…

今回はいきなり第２補充則の証明から行きます。前回の記事 では第２補充則において$\sqrt{2}^p$の指数の$p$が変化するとそれに伴って平方剰余記号の値$\left(\frac{2}{p}\right)$が周期$8$で変化することを観察しました。 今回は山本先生の数論入門 (現代数学への入門)で紹介されている証明を見ていきます。ここでは$\sqrt{2}$を有限体$F_{p^2}$の中の$1$の原始$8$乗根の適当な和で表しています。これを$p$乗すると和の$p$乗は$p$乗の和を使い、$\sqrt{2}^p$を$1$の$8$乗根の$p$乗の適当な和で表すことができます。 これが周期$8$…

ちょっとだけおさらいから入りましょう。 $p$を素数、$F_p$を 位数$p$の有限体とします。$F_p$の$0$以外の元の集合$F_p^{\times}$は位数$p-1$の巡回群になります。そうするとフェルマーの定理から任意の$x\in F_p$について$x^{p-1}=1$が分かります。両辺に$x$を掛ければ$x^p=x$となります。この式は$x=0$も含めて$F_p$の全ての元で成り立ちます。また$x^p=x$を$F_p$あるいはその拡大体での方程式と見た時、その解の個数は多項式の理論から高々$p$個です。一方、実際に$p$個の要素を持つ有限体$F_p$の元は全てこの方程式の解となってい…

yukicoder で noya2 さんと合同でコンテストを開きました. yukicoder.me 全体Tester にはまた Nachia さんに来ていただきました. 二回も全体Tester を引き受けていただき本当に感謝しています!!!! F は特に難しかったので Tester に kaichou243 さんに来ていただきました!!! ありがとうございます!!!! 前回のコンテストは以下です。 yukicoder.me 難易度は ★2.0 - ★2.5 - ★3.5 - ★3.5 - ★4.5 - ★5.0 の 2時間40分 (ジャッジつまりで10分延長！) でした. 前回よりも難しめのセ…

バーンサイドの補題なるものがある。wikiはこちら。 数え上げの問題において、非常に有用である。 Gを有限群で、集合Xに作用している。 作用には右から、左からと言う二つのパターンがある。 作用するとは、演算をしても閉じていて、（つまり、Gの要素をXの要素に噛ませても、Xの要素になる） かつ、結合則と単位元の存在を満たすもの 左辺は軌道の数 右辺は、 分母の部分は集合Gの要素の数 集合の大きさみたいなこと 分子は、要素gを噛ませても変化しない（固定点と言われる）集合Xの要素の数 簡単な例題を考える。 例えば、立体４目並べがあった時に、そこに32個の白玉と32個の黒玉を入れることを考えるとする。 …

www.imojp.org 前提知識 版のLTEの補題として以下が成り立つ(証明はLTEの補題とその応用～一般化へ向けて～ | Mathlogの定理3とかを参考にするといいです) が偶数かつのとき 特になら LTEの補題を使わずに とおいて を用いて直接求めてもよい 解法 (は互いに異なる素数)とおくと よってとなるようながあった場合がで割り切れるのでがで割り切れず1つ目の条件に矛盾 したがって整理すると と表せる に偶素数と奇素数がともに含まれていた場合は奇数では偶数になるので矛盾 偶素数のみの場合はしかありえずこれは条件を満たす または条件を満たさない 以下は全て奇素数でとする 1つ目の条…

ちょっと前から自分の勉強法が変わって、昔の(学部時代の)自分への後悔をすることがたびたびある。今回のタイトルがそれ。昔の自分は数学について「知らなきゃならない」ことに責め立てられて、焦燥感の海で溺死した。もしも「知りたい」という欲求の中で勉強していたら、少しはマシな学生時代になったのではないか、そう今は思う。 忘れもしない学部4年の夏休み。所属ゼミの先生に「大学院を受験するなら、その準備の勉強計画について報告しなさい」と呼び出された。学部での2年間、ほとんど何も勉強していないぼくには「知らなきゃならない」ことがてんこ盛りだったため、正直に課題を網羅して報告した。「まず、『解析概論』の多変数の微…