π、e等。 有理数係数の多項式の根とならない複素数を超越数という。
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Bing（https://www.bing.com/） NHK「笑わない数学」第2シリーズ#5「超越数」を見ました。 「超越数」、私は知りませんでした。 知らない話であり、ものすごく大きな話なので「ふ～ん、なるほど～、すごい世界があるんだな～」くらいしか感想が出てこないので、簡単に内容をまとめてみます。 （ネタバレになるので注意！） 超越数とは，代数方程式の解となる数（代数的数）ではない数のこと。有理数は超越数ではなく、また無理数でも超越数とは限らない。超越数の例としては、自然対数の底 e や、円周率 π（パイ） がある。 実際には、実数の中のほとんどは無理数で、その無理数のほとんどが超越数で…
超越数について、解説していきます。 超越数というのは、係数が有理数のみのn次方程式の解にならない数のことです。 たとえば、4+2x=0の方程式の解になるので-2は超越数ではないと言え、このような超越数ではない数は代数的数と言います。 問題 次の数が超越数かどうか吟味せよ。 (1)2+9i (2)2+√6i 解答・解説 次の方程式の解になる。 (1)x2-4x+85=0 (x-2)2+81=0 (x-2)2=-81 x-2=±9i x=2±9i x=(2+9i,2-9i) 超越数でない (2)x2-4x+10=0 (x-2)2+6=0 (x-2)2=-6 x-2=±6i x=2±√6i x=(2…
≪１≫ そのナニコレでやっていて分かったんですが、本州で海からいちばん遠い地点ということは、本州の内接円の中心＝内心ということになりますね。GoogleMapさんでは、長野県のまんなかへん、このあたりとのこと。 ≪２≫ では、本州の外接円の中心＝外心ということで探ってみましたら、下記の白い距離線の中心で、石川県能登半島の沖、、、と推定されますね。 両端の山口県下関市と青森県の端点を拡大しておきますと、 ここから ここまでとなるようです。その距離１２４８ｋｍ。（この数字のナラビも親しみのあるものです） ≪３≫ こうなると本州の”重心”を探りたくなりますが、これはnetさんから検索。 やはり長野県…
≪１≫ 本ブログの当初の５月に、美なるピタゴラスの式 からの派生ということで、２例を記事にしました。 英国女王の死去ニュースやケータイAUのCMに刺激された訳ではありませんが、本日はこの２例を再記復習しつつ、これに類似の３例目を記しておきましょう。これは、愛読書「何だこの数は？」（F、ル・リヨネ、東京図書、1989）の６のコーナー（ｐ96,97）を眺めていての発想であります。 ≪２≫ ５月の１例目はこんな感じでした。 α＝４が成り立つんじゃ？２匹目のドジョウがいるんじゃ？という感じの３行目の式ですが、そうともいかず というチョウエツ数みたいな感じになって、これはスローン先生のOEISにも見当た…
超越数の王者と女王とは、eとπのこと。どちらがどっちかはここでは議論しない。 果てしない論争になると思われるからだ。 超越数の王者と女王の子女とはeとπの初等演算から生成される数値類のこと。 この二者が代表だ。 どっちが大きいのとかいう問題はご存知であろう。今回はその拡張版の計算であります。四則演算と指数から生み出されたeとπの組み合わせの数を計算して、数直線に配列してみるというだけであります。 下記のリストの計算を行うだけであります。 このリストは既に、小さいもん順になっている。 見ての通り、０から１近辺までに収まるものばかりであります。 もすこし、子女たちの例を追加した。２９パターン。昇順…
πとはいったい何者?円周率と名づけてはみたものの，値も素性も詳しくはわからぬままに始まったπの歴史．それは人類の歴史を映しだす小さな鏡だった．シラクサのアルキメデス，紀元前3世紀のアレキサンドリア大学，科学書に火をつけ焼き払った中世の司祭や十字軍の物語であったし，中国や日本の和算家の物語でもあった．その後，πは円とほど遠い意外な場面に姿を見せ始める．オイラーの数値計算は，ある規則の分数を加えてπの2乗や26乗を発見する！興味深いエピソードやあふれるユーモアを通して，数式に弱い人にも読書欲をかきたてるπの歴史物語――． 前2000年頃のバビロニア人は，円に内接する六角形から 3.125という円周…
現在２０２４年８月６日１時４９分である。（この投稿は、ほぼ５６８４文字）麻友「お母様に、５０冊にしなさいと、言われたのよね」結弦「本当に、できるの？」私「どれだけ必要か、調べてみよう」 若菜「まずどこから、手を付けるのですか」私「既に私が、ボロボロにしている本だ」 ボロボロになっている本矢ヶ部『数Ⅲ方式ガロアの理論』（３）（ボロボロになったので、改めて購入、その後出版された新装版も購入。計３冊持っている。以下も同様）大芝『数学基礎概説』（２）小林・茂木『接続の微分幾何とゲージ理論・微分幾何学とゲージ理論』（３）齋藤・杉浦『線型代数入門・解析入門Ⅰ・Ⅱ』（３）松本・松島・志賀・田村・小松『多様体…
5/28のプレイ記録その2。 外出から帰ってきて夜だっていうのにまた進めちゃう。
読めば必ず「透きとおる」と話題の小説、世界でいちばん透きとおった物語の感想を書きました。仕掛けが楽しい関連書籍もあわせてご紹介！ぜひお楽しみください。 世界でいちばん透きとおった物語 var today = new Date(); var day = today.getDate(); if( day == 5 || day == 10 || day == 15 || day == 20 || day == 25 || day == 30 ){ document.write('★5と0のつく日は楽天P4倍');} 楽天市場で見る var today = new Date(); var day =…
現在２０２４年５月４日２２時０５分である。（この投稿は、ほぼ１１３４文字）麻友「色々、調べていたけど」私「結構、忘れちゃうからね。ブログに、書いておこうと思うんだ」若菜「倒すべき、問題ですか？」私「明日、清書して、投稿するよ」 現在２０２４年５月５日２０時３８分である。再開。若菜「mayuandtaro.hatenablog.comこの、四元数のときの問題も、あるんですか？」私「これから、取り組んでみようと思う問題として、以下のものを考えてみた。 ・リーマンゼータ関数にまつわる、リーマン予想。及び、リーマンゼータ関数の３での厳密値が、超越数であるか、超越数だがそれを から証明できないことの証明…
旧知の仲である数学者 齋藤 耕太 氏（筑波大学、学振PD）が、昨日数学の未解決問題を解決したとするプレプリントをプリプリントサーバーarXivに投稿されました：arxiv.org論文自体は「現状分かるところまで研究しつくす」という素晴らしい態度で執筆されているので主定理の記述は十行ありますが、その特別な場合をとり出した ミルズの定数は無理数である という定理（これは論文のタイトルにもなっています）が、ある程度長い期間未解決であったと思われる数学上の問題の解決を意味しています。 無理数性の証明はかっこいい 実数という数学的対象は有理数と無理数に分けられます。有理数は などのようにという表示を持つ…
文庫版、発売中です。 神曲プロデューサー (集英社文庫) 作者:杉井 光 集英社 Amazon 単行本発売時（なんともう十年以上も前！）に、紹介記事を真面目なやつと不真面目なやつ、二つも書いたが、そういえば楽曲解説はしていなかったな……と思い出し、せっかくなので今回書くことにする。 1. 超越数トッカータ 音楽における「パクリ」を題材にした一篇。 着想の元になったいわゆる「パクリ疑惑」事件は二つあり、ひとつはジョー・サトリアーニの"If I Could Fly"とコールドプレイの"Viva la Vida"。 後者のパクリ疑惑をかけられた方が世界的な大ヒット曲であるだけに当時けっこうな騒ぎにな…
今度はプログラムを書いてもらいます。プログラムを書いてもらう方がちゃんとできることが多いという印象です。プログラムを書くことができて、そのプログラムが停止するならば、証明ができたということになります。以下のように入力しました。 連続の公理(上に有界な単調増加数列は収束する)から、任意の正の実数 、 に対して、 を満たす自然数 を求めるプログラムを C# で書いてください 連続の公理を利用して、任意の正の実数 と に対して を満たす自然数 を求める C# プログラムを以下に示します。 using System; class Program { static void Main(string[] …
直接やり方を書いたらできるのかどうかをやってみます。『手を動かしてまなぶ ε-δ論法』に従って以下のように入力してみます。 連続の公理(上に有界な単調増加数列は収束する)から、任意の実数 と任意の実数 に対して、 を満たす自然数 が存在することを証明してください これはあまりちゃんとした証明にはなりませんでした。 連続の公理(上に有界な単調増加数列は収束する)から、アルキメデスの原理(任意の正の実数 、 に対して、ある自然数 が存在して を満たす)を証明してください これは少しおかしいところがありますが流れは合っています。 アルキメデスの原理から、任意の実数 と任意の実数 に対して、 を満たす…
この例は自然数の指数の定義を拡張して複素数の指数関数を定義するにはテイラー展開を使うのが簡単だということを示すプログラムを作成するのが目標です。この例はChatGPTが流れはだいたい合っている証明を返してくれます。このような例についても見ていきます。コピーのボタンを押すと LaTeX の形式でコピーできることがわかりました。今後はこのようにします。まず以下の問題を入力してみます。 が実数のとき が収束することを証明してください 以下のような答えが返ってきました。指数関数 のテイラー展開は次のようになります：ここで、各項 の収束性を考えます。収束するための1つの方法は、比較判定を用いることです。…
文字霊日記・３４４３日目 パイの配分は平等とはならない・・・ 「菌圥（キンロク）＝きのこ（茸 ・木之子）」のパイはドウ？ ↓↑ 概ね・概略のカンジの再考 木＝十+八 ↓↑ ↓↑ 十八（壱+拾+八）+日+丄（上）+乂（メ） 壹+拾+捌 +ヒ（七・匕＝匕首・さじ＝匙） +ム（私・我・自・己＝よこしま） ↓↑ ↓↑ Ｉ(Ｉ・I・Ⲓ・ⅰ・１) 概＝木+既(艮+旡) 既 无部 旣 木+艮+旡・・・炁恧惥恚怘恋 㤅＝旡+心 ＝爱＝爫＋冖＋友 爫＋冖＋又 ＝愛＝爫＋冖＋心＋夂 ↓↑ ↓↑ 概念は アイ・マイ・ミィ 時代と共に変容し 国によっても異なる サラに・・・「沙羅・紗羅・讃良」に「双樹・送受・惣拾」 …
☆◆ 今日のつぶやき・覚え書き ☆◆ 今日は（2024年）令和6年弥生（やよい）３月１４日（木曜日）赤口です。・・・ 奈良（北部）の天気予報・ ・ 晴 時々 曇 ・・ １５℃・１℃・・・ (^^)今日も お立ち寄り 下さいまして 感謝します(^^) 今日は何の日。 お話しのネタ があれば幸いです。 (^^) ☆◆ ～今日は何の日～ ☆◆ ☆◆ ３月１４日は ホワイトデー （ 記念日） 2月14日の「バレンタインデー」にチョコレートなどを贈られた男性が、返礼のプレゼントをする日。 バレンタインデーのチョコレートに対して、キャンデーやマシュマロ、ホワイトチョコレートなどをお返しするのが一般的になっ…
「不完全性定理」の証明を書き直そうとしていたら新年になってしまいました。今後の目標を書いていこうと思います。毎年何か書こうと思っていたのですが、PCが壊れてから書いていませんでした。 このブログについて サーバーで永久に動作するプログラムを論理プログラミングで表す方法について調べていました。この目的で、現在は数式で表すことが難しいものをビジュアルプログラミングで表す例がないか調べています。このブログでは、当初は数式で表すことが難しいため通常は数式の変形で書かないようなものを数式の変形を使って証明することを考えていました。これをエレファントな証明と呼んでいました。現在はビジュアルプログラミングを…
次に「超越数」だ。超越数というのは聞き慣れない概念だが、「方程式の解にならない数」と定義される。ちなみに「方程式の解になる数」を代数的数と言う。言葉で定義するのは簡単だが、実際の数字を超越数であると証明するのは至難であったらしい。 超越数が最初に発見されたのは、１８４４年。ジョセフ・リウヴィル（フランス、１８０９～１８８２年）という数学者が人工的に作り出したリウヴィル数である。０．１１０００１００００・・・と大量のゼロの合間に時々１が登場するという変な数だ。次は、１８７３年、シャルル・エルミート（フランス、１８２２～１９０１年）によって、「素数」の回にも登場し、重要な役割を果たしたｅ（自然対数…
私は理科大好き人間なのだが、残念ながら、中学・高校時代から、数学という教科が甚だ苦手であった。勉強していてつまらないとは思わないし、物理は得意科目だったのに、なぜか数学がまったくできない（試験で点数が取れない）。そのため、大学では文系学部に進まざるを得なかった。 高校時代には、ほとんど大学入試のための道具でしかなかった数学だが、大人になってからは、この世にたくさんいる数学者たちが、いったい何をしているのだろう？と思うようになった。いつまで経っても研究することがある、ということも理解できないし、そもそも数学の論文というものがまったくイメージできない。数学というのはなんとも得体の知れない、非常に抽…
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