自然対数の底

自然対数の底

(サイエンス)
しぜんたいすうのてい

[英] the base of the natural logarithm
自然対数の底とは、数学定数の一つで、それを底とする対数関数のx=1における接線の傾きが1となるように定められた数。ネイピア数とも呼ばれる。
この数にxを指数として付けて微分すると、それもまた同じ関数になる。\Large      e=\lim_{h\to0} \left(1+h\right\)^{ \frac~1h または\Large      e=\lim_{n\to\infty} \left(1+\frac~1n\right)^n と定義される。超越数であることが証明されている。記号はe、小数点以下20桁までの値は 2.71828182845904523536。
eは数学者オイラー(Euler)に由来。

また、次のような性質を持つ(これらの性質を定義とすることもある)。

  •  \int_{1}^{x} \frac{1}{t} dt = 1 を満たす  x e とする。
  • 無限級数の和  e = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!} = 1 + \frac{1}{1!} +  \frac{1}{2!} +  \frac{1}{3!} + \cdots
  • 微分方程式  f(0)=1, f'(x)=f(x) で定義される関数の  f(1) の値は  e

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