[英] Napier's constant ネイピア数とは、数学定数のひとつで、自然対数の底として用いられ、通常で表される超越数である。 e = 2.71828 18284 59045 23536 02874 71352 … と続く。 ネイピア数は無理数であるため通常の分数では表現できないが、無限連分数によれば表現可能である。
初投稿です。 テーマはネイピア数というよりは極限の扱いついて気を付けるべきことです。 導入 数学系YouTuberの鈴木貫太郎氏が投稿されたネイピア数についての解説動画を見ていた時、一か所気になる説明があった。（ネイピア数を理解する上ではさほど重要な箇所ではないが） ここではネイピア数を次のように定義する。 ネイピア数（自然対数の底）の定義 右辺を二項展開すると次のようになる。 ここで３項目、４項目、…はでそれぞれに収束するから結局、次の表示を得る。 ネイピア数の別表現 というのがこの動画の解説である。 結論自体は正しいが、この議論には論理の飛躍がある。詳しい説明をしているサイトがないか調べた…
自然対数の底 e が無理数である証明以前の記事で, 円周率が無理数, つまり (整数) / (整数) と分数の形では表せない証明として, Nivenの方法を紹介しました. 今回は, 自然対数の底 が無理数である証明を紹介します. 自然対数の底とは, 次の式で定義される数です.\begin{align*} e &= \lim_{x\to\pm\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^x\\ &= 2.718281828\ldots \end{align*} 証明.証明の手順 自然数 に対して, \begin{align} f_n(x) &= x^ne^{1-x}\\ a…
あまり表題の意味は深く考えないことをお勧めするとして、ここでは連分数を展開すると面白いパターンが生み出されることを報告しておきたい。 連分数は展開対象となる数の固有の性質を表している。応用範囲としてはペル方程式の解を求めるラグランジェの証明が有名だろう。有理数は有限回の展開で閉じるが、無理数は無限回になる。大学の教養課程でも連分数は扱わないようで、存在感が薄い。 しかし、インド人の数学教育では必須になっているとも聞く。特殊な超越数には規則性が出現することがまれにある。その例外の一つがネイピア数 e だろう。 WIKIにもあるようにネイピア数は下のように連分数展開できる。 ネイピア数の連分数 こ…
はじめに 円関数(三角関数)の定義や公式をR言語で可視化して理解しようシリーズの補足シリーズ(黄金比編)です。 この記事では、黄金比を用いた長方形と螺旋の関係を確認します。 【前の内容】 www.anarchive-beta.com 【他の記事一覧】 www.anarchive-beta.com 【この記事の内容】 はじめに 黄金長方形と黄金螺旋の関係 黄金比の性質 黄金長方形 黄金長方形上の螺旋 黄金螺旋 補足 黄金長方形の対角線の計算式 点ODを通る直線 点AEを通る直線 点BFを通る直線 点CGを通る直線 黄金長方形の対角線の交点の計算式 黄金螺旋のパラメータの計算式 ノルムと角度 パラ…
数学の具体的な問題にPythonを使って、数学もPythonも同時に学んでしまいましょう。今回はPythonを使った確率・統計の問題として、くじを引き続けて何回目に当たりが出るのか考えてみたいと思います。ただし、引いたハズレくじについては毎回戻すものとし、当たりくじを引く確率は毎回一定であるものとします。これはパチンコ遊技などの大当たりを引く確率と、回転数（試行回数）との関係にも当てはまります。 くじ引きの実装 当たるまでの回数（数値的実験） 当たるまでの回数（数学的考察） 確率分布 当たるまでの回数の期待値 回転数と当たりを引く確率 確率 1/10 の場合 確率 1/50 の場合 確率 1/…
ソフトマックス関数とは ソフトマックス関数は、複数の数値からなるベクトルを受け取り、それを正規化して確率分布として表現するための関数です。主に機械学習や深層学習の分野で使用されます。この関数は、多クラス分類の出力層や、ニューラルネットワークの最終的な出力を確率分布に変換するために一般的に利用されます。 ソフトマックス関数は、次の式で表されます。 ここで、Nはベクトルの次元数を表し、eは自然対数の底であるネイピア数です。各要素に対して、指数関数を計算し、全ての指数の和で割って正規化しています。 ソフトマックス関数の特性 正規化性: ソフトマックス関数の出力は0から1の範囲に収束し、それらの合計は…
Bing（https://www.bing.com/） NHK「笑わない数学」第2シリーズ#5「超越数」を見ました。 「超越数」、私は知りませんでした。 知らない話であり、ものすごく大きな話なので「ふ～ん、なるほど～、すごい世界があるんだな～」くらいしか感想が出てこないので、簡単に内容をまとめてみます。 （ネタバレになるので注意！） 超越数とは，代数方程式の解となる数（代数的数）ではない数のこと。有理数は超越数ではなく、また無理数でも超越数とは限らない。超越数の例としては、自然対数の底 e や、円周率 π（パイ） がある。 実際には、実数の中のほとんどは無理数で、その無理数のほとんどが超越数で…
←メインメニュー 指数関数の意味 指数関数の解析的定義 指数関数の加法定理 指数関数の逆関数としての対数関数 対数関数の微分 対数関数の乗法定理 一般の指数関数の底 一般の指数関数の加法定理と指数法則 一般の対数関数の底 一般の対数関数の乗法定理と対数法則 底の変換公式 同じ数をn回かけたもの 一般の指数対数関数の微分 対数微分 ネイピア数の定義と極限公式 対数微分の応用 指数対数の公式一覧
Bing（https://www.bing.com/） NHK「笑わない数学」第1シリーズ #6「虚数」（再放送）を見ました。 前半、自然数から始まって、有理数、無理数と、数の発見の歴史が語られていきます。途中、虚数と同じように通常の感覚では納得しにくかった数として、"0" と「負の数」の発見が説明されます。 無理数の説明のところで、√2 (ルート2) が有理数では表せないということをパンサー尾形が背理法で証明してくれます。この証明は、高校1年生の最初の方で出てくるのかな。背理法がなんとなくしっくりこなくて、この辺から高校の数学が嫌いになる生徒もいたような気がします。 そんな感じで、わりと丁寧…
fの字で示そネイピア数Napier自然対数の底,eに対して,バランス良い気がするから。firo,feror,firrer,fillier,fillfilla,fillil,filo,finefillil:firo-fine虚無系対数の底とか言い張ろ～～っと。FirosoFineフィロソフィーネ終ワリノ哲学こんな感じのネーミングで～
はじめに R言語を使って、円関数の定義や公式を可視化して理解しようシリーズです。 この記事では、対数渦巻き(ベルヌーイの渦巻き)のグラフを作成します。 【前の内容】 www.anarchive-beta.com 【他の記事一覧】 www.anarchive-beta.com 【この記事の内容】 はじめに 対数螺旋の可視化 定義式の確認 対数螺旋の作図 螺旋の作図 角度と座標の関係 パラメータと形状の関係 対数螺旋とsin曲線・cos曲線の関係 変数と座標の関係 パラメータと形状の関係 参考書籍 おわりに 対数螺旋の可視化 sin関数(サイン関数・sine function)とcos関数(コサイ…
修・令和5年2月23日、西成活裕著の『とんでもなく役に立つ数学』という書籍を読破した。 西成活裕著の『とんでもなく役に立つ数学』という書籍はとんでもなく面白い書籍だった。数学の理論等をふんだんに紹介しながら実社会における諸問題の解決に数学が活用できることを教えてくれる。是非、高校生には読んでいただきたい一冊である。私も高校生の時、いきなり三角関数の授業が始まった時、これがどんなに有用なものなのかは分からなかった。高校で学ぶ「微分・積分」、「ベクトル」、「図形」、「三角関数」、「二次方程式」が、大学の数学における「代数」、「解析」、「幾何」に繋がっていること（41頁参照）。学習する上で、全体との…
皆さんこんにちは。 理系の理系による理系のためのブログ編集チームです。なんと、今回で100記事目です。いつも読んでくれている読者の皆様のおかげです！ 100記事目ということで、記念として、クロスワードを作ってみました。 一人ずつ、問題→それを解いたみんなの感想→答えの順に書いていきますので、よければ解いてみてください。 里得木のやつ 問題 感想 答え アルキメデスのやつ 問題 感想 答え どけいのやつ 問題 感想 答え ヒトデのやつ 問題 感想 答え 今回の感想 里得木のやつ 生物について詳しい里得木。学校で習う範囲から、「えっ」って驚くようなことまで入れたクロスワードを作りました。本物（？）…
前回の続き
捕獲圧あげたらCPUEはどうなるの① （ざっくり論文メモ Skalskiほか1983） アライグマのモニタリングについて，考えてみた．密度指標の捕獲効率って，捕獲努力量変えたらどう変動するの?? 今回の内容は要約するとこんな感じ ---------------------------------------------------------------------・アライグマの密度指標として捕獲効率（捕獲数/捕獲努力量）が用いられる・でも，同じ密度でも捕獲努力量あげたら分母大きくなるから値としては下がっちゃいそう・では，捕獲効率(捕獲数)と捕獲努力量の関係ってどんな感じなの?・捕獲数E(n)…
NeptHead20i-RootageVoltNine(2SinCos)(Sin^2)(Cos^2)(2)89-90年前後の天才児のおとぎ話ネイピア数の底が10である事に疑問を持った俺は、20底のネイピア数をある日考えた。しかし、なぜ当然のように0~10なんだ？0~9基準にすべきじゃないのか？そんなワケで、俺はこういった道……を、選んだのだった。ボルトナイン？簡単だ。直角Vになるようにボルトを打つ感覚で∫(9x-0x)∫(9y-0y)∫(9z-0z)と刻むだけ。そしてあとは何時もの虚数単元基準。簡単でしょう？NeptHead20Δχi-RootageVoltNine(2SinCos)(Sin^…
「紙の登場」は何を変えた？
プログラミング言語などで log が常用対数(底は10)なのか自然対数(底はe)なのかという問題です。 TL;NR 導入 本題 TL;NR ほとんどのプログラミング言語では log は自然対数、SQL はバラバラなので注意、Excel ワークシートでは常用対数 導入 は の逆関数で、この b は底(てい)と呼ばれます。英語では base です。底は 1 以外の正の数でなければなりませんが、実際に使われるのは 10, e, 2 くらいです。x は正の数です。複素数にも拡大できますが、多価関数となりややこしくなりますので、ここでは止めておきます。 は常用対数、 は自然対数と呼ばれます。この e は…
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