オイラーの定数

前回の（有限）調和級数の続きの間です。 下のようなEuler定数の有限版のベタベタな計算です。有限オイラー的級数と呼びましょうかね。 ｘは実数です。対数項に1+ i xを掛けています。 x=0の時にEuler定数の定義式になります。これは自然な拡張といっていいでしょう。 ｍをいくつか選んで、ⅹを0～2まで動かすと下のようになったです。 横軸が実軸で縦軸が虚軸です。 実軸との交点がEuler定数=0.577に相当します。 実軸と虚軸を入れ替えて、m=10000として-２<ｘ<２での変化を可視化しましょう。 なんとなく、へうげた形状ですね！ 実軸が縦軸ですので、その交点は0.5772あたりになりま…

新春を寿いでおいでのことでありましょう。自分は星状多角形の計量計算で四苦八苦している年末年始でありました。まだ、結果を出す見通しが立たないでおります。 ここは思いつきと初心忘るべからずに依拠して、オイラーの定数に関連の数値計算についてレポートしましょう。 1) 2) 上式1)は調和級数（調和関数）でｘは実数です。自然数ｍまでの和ですね。 下式2)はオイラーの定数の式をｍまでで打ち切った関数です。 ｘをパラメータとして、複素平面での挙動を計算してみたい。 一種の調和関数の解析接続みたいなものです。 1)でｍ=1000として、ｘを-1から1まで1/10刻みで打点する。 縦軸は虚軸で横軸は実軸 ここ…

≪１≫ WBC⚾の熱戦も日本の優勝で幕となり、たいへんよかったです。日本の総理さん、「特別休日」にでもしてくれるかとも期待しましたが、今回はそれどころじゃなかったようですね。「特別休日」は、先々のサッカーW杯優勝にまでとっておきましょうか。ということで、ひさびさの数学っぽい記事となります。 ≪２≫ 本日は、シンプル素朴な２つの定数の組合せ演算から、どんなあたらしい景色がみえるか？という、W杯を引きづったような内容となります。 選んできた定数は以下のメンバーです： ɤ：オイラーの定数、0.57721･･･。無理数かさえ不明の代表選手。 √２：みんなが知ってる無理数代表選手。背理法にイカサマ感を感…

≪１≫ 暑い日々を、関数グラフのクネクネ曲がりぐあいで楽しんでやり過ごそうとのクワダテ、本日の出し物は階乗と平方根のんであります。すなはち、ｙ１＝ｘ！とｙ２＝√ｘ。ぱぱっとでの描画では、 と、なんと、いきなり接している感じ。 ですが、心配になって拡大してみますと、 となっていて、やっぱり僅かながら交わっている様子でありましたー。 ≪２≫ 定石とおり、微係数が同じになるｘをカチカチっとすると、ｘ＝1.07146･･･とのこと。このｘにおける差ｙ２－ｙ１だけ、階乗ｙ１のほうをグィと持ち上げますと、 となり、階乗と平方根のグラフが接するのでありました。 つまり、全景のグラフは、 という感じです。 最…

調和数Hnにまつわる数学パズルで傑作とされるのが、毛虫の問題がある。 ゴムの左端に毛虫がいて１ｍ先の右端を目指して、秒速１cmで移動を開始する。意地悪な悪魔がいて、１秒ごとにゴムひもを１ｍ伸ばすとする。毛虫Wは大きさは無視する。毛虫は不老不死でど根性あり、ひたすら伸び続けるゴムの右端を目指して移動するとしよう。 以下、クヌースの『コンピュータの数学』からの参照だけど、Wは１秒這うと右端から９９％まで来る。つまり、伸びて２ｍとなったゴムのうち２cm進む。さらに１秒ではWは4.5cm進み、残りは295.5cmということになる。 では、何秒後に毛虫は右端に到達できるであろうか？ ちょっと意外であるけ…