波の伝播のようすを記述する偏微分方程式。 電磁気学、量子力学等で頻出。
一次元では、波の速度をc、位置x・時刻tにおける変位をu(x,t)とすれば
一般には、ラプラシアンを△として
略記すれば、ダランベルシアンを□として □u = 0
→シュレディンガー方程式 →リスト:リスト::物理関連、リスト::数学関連
「スタンフォード物理学再入門 量子力学」は、スタンフォード大学教授レオナルド・サスキンドが同大学で行った社会人向け講座(The Theoretical Minimum)から誕生した一冊にして、先に記事にした「スタンフォード物理学再入門 力学」の姉妹編(続編)である。 その性格上、「力学」同様、この「量子力学」(以下、同書と記す)もまた、企図しているのは厳密詳細な理論展開や計算技術の開陳ではなく、量子力学の基本とその特質を、概念理解に重点をおいて俯瞰的に紹介している。 私は同書を、「力学」と併せ邦訳の電子書籍として購入したが、今般再読のため開こうとしたらKindleには入っておらず、よくよく確認…
0.はじめに 解説の流れ スピーカーの出力音の音圧を表す式 1.波動方程式を求める 1ー1.連続の式 1ー2.運動方程式 1ー3.波動方程式 0.はじめに 仕事でスピーカーのエンクロージャの設計をするために、理論体系を勉強してEXCELで特性のシミュレータを作ったことがありました。ところが、仕事を変えてからというもの、久しぶりにEXCELに入力した式を見ても、「なんでこんな式入れてるんだっけなぁ」とかなり忘れてしまっているようです。 ということで、思い出しがてら、備忘録的にブログにアップしておこうと思います。もしかしたら誰かの役に立つかもしれないし。 作ったシミュレータは、ドライバーユニット単…
MathJax.Hub.Config({ tex2jax: { inlineMath: [['$', '$'] ], displayMath: [ ['$$','$$'], ["\\[","\\]"] ] } }); 波動方程式 (wave equation) は、次の式で表される2階線形偏微分方程式です。 [\tex v]は、 差分法を用いて簡単に数値計算できます。以前、練習で解いてみたものです。
12月中旬に急遽対面からオンラインに切り替わった後期授業ですが、オンデマンド講義動画の撮影が明日で終了予定ですので、ようやくメドが付きました。その中で最後まで残ったのが「応用数学」というラプラス変換、フーリエ級数、偏微分方程式の初歩を扱う学部2年次の選択科目です。 1月3コマ分の偏微分方程式入門をどのような内容にするか非常に悩みましたが「1次元波動方程式」「1次元熱伝導(拡散)方程式」「2次元ラプラス方程式」の混合問題(初期条件+境界条件)をそれぞれ1コマずつとし、変数分離の条件下で常微分方程式の解の重ね合わせの公式を適用し、フーリエ正弦級数に持ち込んで解く方法にしました。もっとも、波動方程式…
シュレーディンガー方程式とは フランスのド・ブロイはボーアの原子モデルをもとに電子波動説を唱え、粒子が波と同じような性質を持つといいました。 ド・ブロイが提唱した電子の波は そのまま電子波とかド・ブロイ波ともよばれますが、 電子は物質を構成する素粒子の一つでもあり、 最近では他の素粒子にも同じような波動性が確認されたので 今では物質波と呼ばれています。 シュレーディンガーはド・ブロイの提唱した物質波に 興味を持ち波動力学として理論構築をおこないました。 波動性を示す物質が時間と共に他の位置に伝わっていくという挙動を計算するための式がシュレディンガー方程式です。 下記の数式で表されます $$ i…
アナニヨ・バッタチャリヤ 訳・松井信彦 みすず書房 2023.9.19読書日:2024.3.21 ハンガリー出身の数学の天才で、数学の力を量子力学、コンピューター、ゲーム理論、AIなど、純粋数学の枠を越えて貢献し、手がけた分野のすべてがその後大きく発展して、いまだに現代に大きな影響を及ぼして、未来から来た男と呼ばれたジョン・フォン・ノイマン(1903ー1957年)の評伝。 わしはなぜかジョン・フォン・ノイマンとクロード・シャノンをごっちゃにしてしまう。どちらも情報工学に関係があるからだろう。今回ジョン・フォン・ノイマンの評伝を読んだから、あとはシャノンの伝記を読めば、もうごっちゃになることはな…
この記事は私が「量子力学I (岩波書店)」「量子力学II (岩波書店)」を読んで分かりづらかった部分を補完していく内容の備忘録となっています。 冗長な部分はすっ飛ばして記事にしているので「量子力学I」を手元において本文を読むのがおすすめです。 それではさっそく始めましょう。 アインシュタインの縮約記法 一般相対性理論でもそうですが、これから添え字が大量に出てきてうざいのでアインシュタインの縮約記法をバンバン使っていきます。 ここで説明するのはめんどくさいのでこの記事の縮約記法の項目を読んでください。 mathlog.info 波動方程式 問題 $\alpha, 0<a, 0<\omega$ を…
図書館で見かけて。これ:時間は存在しない - た-くんの狂人日記読んだ記憶があったんでね。でも、他にもすごい物理学講義 - た-くんの狂人日記とか世の中がからりと変わって見える物理の本、など - た-くんの狂人日記とか読んでたのか… 世界は「関係」でできている: 美しくも過激な量子論 作者:カルロ・ロヴェッリ NHK出版 Amazon 出版者の記事:世界は「関係」でできている 美しくも過激な量子論 | NHK出版 原題の島はこれか:wikipedia:ヘルゴラント島 若き[wikipedia:ヴェルナー・ハイゼンベルク]が訪れて思索を巡らせたんだとか:物理数学赤点のためのハイゼンベルク小史|第…
死んだ後に起きる不思議なこと 死後の世界についての考察 人間がこの世を去った後に何が起こるのかは、古来より多くの文化や宗教で語られてきた謎に満ちた話題です。死後の世界に関する考え方は、文化や個人の信念によって大きく異なりますが、一般的には、肉体的な死を超えた何らかの存在があるとされています。 例えば、多くの宗教では、死後の魂の行方について教えています。キリスト教では天国や地獄があり、仏教では輪廻転生があります。また、ヒンドゥー教や仏教ではカルマの法則が魂の行く先を決定づけるとされています。 科学的な観点からは、死後の世界についての証拠はありませんが、量子物理学の一部の理論では、意識が物質を超え…
本について きっかけ 感想 科学的な思考について 存在の相対性について 組織化 因果関係 「意味」の最も原始的な意味 まとめ 本について イタリアの著名な理論物理学者であるカルロ・ロヴェッリによって書かれた、量子力学についての歴史とかその考え方、捉え方について書かれた本です。原題は「Helgoland」。 世界は「関係」でできている: 美しくも過激な量子論 作者:カルロ・ロヴェッリ NHK出版 Amazon きっかけ 本屋で見かけて、親にこれは昔読んだ。おすすめ、と言われたので、借りて読みました。量子力学には大学時代に井戸型ポテンシャルの波動方程式を解くくらいまではやりましたが正直考え方につい…
今日は普段はほとんど目にすることがない 「虚構」、「虚数」そして「マジックナンバー」にスポットを当ててみました。 これらはそれぞれ違う分野の概念ですが、私たちの世界観や創造性にどんな影響を与えているのか、一緒に探っていきましょう。 それでは、このちょっと不思議な旅を楽しんでいってくださいね! 虚構、虚数、そしてマジックナンバー。これら三つの概念は、それぞれが異なる分野に属していながらも、私たちの認識と創造性に共通する興味深い側面を持っています。 この記事では、それぞれの概念を掘り下げ、それらがどのように相互に影響し合い、私たちの世界の理解を深めるのかを探求します。 虚構: 創造の始まり 虚構は…
A1 波動方程式(一次元)パート2 パート1ではソフトウェアのコマンドや簡単なコードで解が得られるものを紹介した。パート2では、なぜそのような解が得られるのか?数学的に教育的に追ってみた。ここまでくるとLive math makerでは力不足なので、Mapleで仕上げることになった。最終的な数式は式(61)のすぐ上に書いてある。 ---------------------------------------------------------------------------------- ---------------------------------------------------…
偏微分方程式(以下PDE) 独立変数が複数になるので、ODEに比べ複雑さは桁違いだ。それでも適用アプリケーションが存在するので、できるだけ紹介していきたい。 方程式には1階、2階という階数があるが、自然界の法則を表現するPDEには2階が非常に多い。何故多いのかは上手く説明できないが、私的には2次関数の考え方をアナロジー的に利用しているからと思っている。これまで3次関数の延長線での応用など聞いた事が無いし、線形代数の公式も3次になると途端に面倒になるし、2から3へのステップアップは「数学の専門分野」の話になるのかもしれない。まずは整理されている2階線形からスタート。 2階線形PDEの分類 現在、…
Table of Contents 2024.04 微分積分準備講座 1. [1変数の微分と積分](#orge17b68d) 2. [2 (多)変数](#orgdeef4f2) コンテンツ 板書と図 story 宇宙がわかる17の方程式 微分方程式とは 2024.04 微分積分準備講座 微分積分準備講座 2024 - masayuki054's diary 1変数の微分と積分 関係,状態,関数と微分の目的 $ f(x) $ $ y = f(x) $, $y - f(x) = 0$, $ f(x,y) = 0 $ $ g(y) = f(x), ( h(x, y) = g(y) - f(x) = …
ウィザーズ・ブレイン完結おめでとう。 PDF版はこちら。
リアルな水面レンダリングは、CGとゲーム開発の分野において重要なテーマの一つです。これは比較的に複雑なテーマで、更に以下の課題に分けられます。 波のシミュレーション 水のシェーディング 反射 水の透明感の表現 白い泡(Form)の表現 それぞれの課題に対して様々な手法が提案されてきました。 これらの手法を組み合わせして、初めてリアルな水面レンダリングができるようになります。 波のシミュレーション 水面の形を作るためかなり重要。手法の原理によって、以下のように分類できます。 波の重ね合わせ 正弦波(Sinusoids Wave)[Max 1981] ゲルストナー波(Gerstner Wave)[…
自分が勉強した本まとめ 数学科の学生だった私が、IT 業界に就職して機械学習エンジニアになった中で思い入れのある本や面白かった本などの紹介を書いていきます。 ジャンルとしては数学・統計・機械学習あたりをメインに、一部は物理やエンジニアやクラウド関連の書籍も紹介できればと思います。 学生時代の本(主に数学科の基礎的な本) 微分積分学(数学シリーズ) 難波誠 裳華房 微分積分学 (数学シリーズ) (数学シリ-ズ) 作者:難波 誠 裳華房 Amazon 最初に紹介する本は、難波誠先生の微分積分学。 大学の指定教科書だった。当時は、ε-δ に初めて出会い(最初は ε-N からだが)、その厳密さに大変感…
「虚空間」ついて再掲存在していることは分かていたがどこに存在するのかもう一つはっきりしなかった。しかし、今思うことは「ともにある」のではないかということである。つまり「重なって存在する」ことである。地球と並行して、或いは人と並行しての存在は無理であり、「重なって存在する」事が一番自然に思えてきた。人と重なり、地球と重なり、太陽系と重なり、銀河系と重なり、宇宙全体と重なる。「ノルム空間」と「虚空間」が同一であることが証明されれば、こんな自由な世界が訪れる。例えば「虚像作成装置」で「空間移動装置」内に虚像を作り、「空間移動装置」内の「移動目標座標装置」で現実世界の目的地に「虚空間」座標を決めてやれ…