Red cat の数学よもやま話

■[数学・基礎論]自然数から整数へ、そして有理数へ(その 5) 10:49

今回は後々使う事実からまず証明していきます。

定理

を の元とするとき

(証明)

右から左に関しては から

なので成り立つ.

左から右を示すため命題 として

を用意し, まずこれを示す.

は真である. が成り立つと仮定する. このとき であり, として をとればよいから も成り立つ.

さて とし,

とおく. であるから なので . が整列集合であることはすでに示したので が存在する. これを とおく.

このとき であるが ならば となり, と合わせて であるから成り立つ. ならば だから, 先に示した命題により を満たす が存在する. だから なので

となり . (終)

この定理と、自然数の大小に関して

のうちのどれか一つだけが成り立つことを合わせると、任意の二つの自然数 について

のどれか一つだけが成り立つことがわかります。(続く)

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■[雑記]はてなブログに移行します 17:15

この度はてなブログに招待していただいたので、様子を見ながらはてなブログの方へ移行していこうと思います。まだちょっと不具合もあるようなので、当面はこちらも継続します。

はてなブログ「Red cat の数学よもやま話・新装開店」

http://mathneko.hatenablog.com/

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■[数学・解析]円周率を解析的に定義する(後編) 01:22

長くなりそうなのでセクションに分けていきます。

指数関数と指数法則

級数 の収束半径は無限大です。そこで任意の に対して と定義します。 とおくと、任意の実数 に対して が成り立つため、複素数 に対しても と書きます。ここで大事なことは、指数法則

が成り立つことです。証明は省略します。

三角関数の加法定理

の定義式で を に置き換えると

… (1)

が成り立ちます(前編で定義した三角関数は変数が複素数でも定義できます)。(1) で と置き換えると

… (2)

が成り立つので、(1) と (2) を辺辺掛けて

… (3)

が成り立ちます。また (1) と (2) で辺辺加えたものと引いたものを考えれば

が成り立つことも分かります。これと指数法則から

という、三角関数の加法定理が導けます。

三角関数の周期

前編で定義した について が成り立つことは既に分かっています。これと (3) から

が成り立ちますが、 なので 、したがって

です。これと加法定理から

… (4)

が分かります。(4) で として

… (5)

(5) で として

… (6)

が分かります。これは が周期関数であり、かつその周期が であることを意味しています。

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■[数学・解析]円周率を解析的に定義する(前編) 17:57

円周率の解析的な定義はいろいろあって、以前も一つ紹介しましたが、ここでは別な方法を紹介します。

1. 次の二つの級数の収束半径は無限大である。

証明はそれほど難しくないので割愛します。この事実を利用して、任意の に対して と定義します。

2. のとき

実際 のとき

である。

2. により のとき なので は で狭義単調減少です。また、定義により なので、あとは を示せば、中間値の定理により方程式 は にただ一つの解を持つことが分かります。

3.

であり では

なので、上式の級数部分の各項は 0 より大きい。したがって で

が成り立つ。よって

である。

以上により は にただ一つの解を持つことが分かったので、その解を とおき、 と定義します。この が円の直径と円周の長さの比であることは後編にて。

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■[数学・代数]1 で終わる数による割り算 22:35

前回とは逆(?)に、今度は 1 で終わる数による割り算を考えます。1 で終わる数は一般に と書けます。 を計算してみます。まずは

と書き換え、

… (*)

と割り算します。 により です。この両辺を 10 倍して整理すると

となります。計算で分かるように なので、(*) の方法で求めた は の小数第 1 位と一致します。以下、 とおき、 に対して同じように計算していけば、割り算が完成します。

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