変分法

関数 $f$ が $x$ を陽にもっていない場合のオイラーの方程式を，ベルトラミの公式と呼ぶ． $f=f(y, y')$ とする．\[ \frac{df}{dx}=\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)\left(\frac{dy}{dx}\right)+\left(\frac{\partial f}{\partial y'}\right)\left(\frac{dy'}{dx}\right) \]また，オイラーの方程式に $\displaystyle y'=\frac{dy}{dx}$ をかけると\[ y'\frac{\partial f}{\p…

積分 \[ I=\int_a^bf(x,y,y')\,dx \] が停留値をとるような関数 $y=y(x)$ を求めることを考える． $y(x)=y_0(x)+\varepsilon\cdot\delta(x)$，$\delta(a)=\delta(b)=0$ とおく． $\delta(x)$ は 関数 $y_0(x)$ に対する変分を表す関数． 任意の $\delta(x)$ について $\varepsilon=0$ における積分 $I$ の変化量が$0$になる条件を求めればよく，この条件は \[ \left.\frac{dI}{d\varepsilon}\right|_{\varepsil…

これまでの力学は、運動の変化のしかたを表す式に初期条件や境界条件を代入することによって、細かく区切った時間ごとの様子を調べていくものだった。しかし、変分法を使えば、初めと終わりの条件を設定することによって様子を追うことができてしまうのである。変分法が扱うのは、というような積分である。この積分について、「 が極値をとる方法で が変化する」というのが変分法の主張となる。思わせぶりに積分の中身を で書いてしまったが、この をラグランジアンと考えれば、 が極値をとるような を考えると、オイラー・ラグランジュ方程式が導出できてしまう。 がラグランジアンの場合の を作用と呼び、作用についての変分法を特に変…

今回のテーマは「拡張された変分法」についてです。前々回のハミルトンの原理では、運動方程式を導く際に、両端を固定した変分を行いましたが、両端を固定せずに動かす変分を考えることにします。そうすることで、ラグランジュ方程式以外の力学的情報が作用積分から得られます。

最近、ある認知科学の論文を読んでいたら、このような文章に出会った。 広く知られるように近似ベイズ推論において変分推論とマルコフ連鎖モンテカルロ法は二つの代表的な理論であるが，今のところ集合的予測符号化の数理モデルはマルコフ連鎖モンテカルロ法に基づいてしか理論化されていないことになる．しかし，集合的予測符号化を変分推論の視点から定式化することが不可能であると示されたわけでなく，十分に可能性のある方向性であろう． 谷口忠大 「集合的予測符号化に基づく言語と認知のダイナミクス： 記号創発ロボティクスの新展開に向けて」p.200より これはベイズ推論をする上で、自由エネルギー原理が用いる変分法と集合的…

前回のあらすじ 境界曲線の特徴 2次のテイラー展開の数値計算 楕円の方程式とテイラー展開の関係 シミュレーションの結果を心眼でみる まとめ 前回のあらすじ 前回では「スクラッチカードシミュレーション」の結果を分析し、条件を満たす領域の境界を抜き出す作業を数値的に行なった。その結果、滑らかな曲線とおぼしき境界線が出てきた。これがどんな方程式によって作り出されているのか、今回は数値的に求めてみたい。 境界曲線の特徴 パッとみた感じは、$x=0$の頂点を持つ放物線のように見える。しかし、$(x,y)=(1,1)$の近傍で傾きが無限大、つまり垂直な直線が曲線の接線になっているように見えるので、これは放…

能動的推論:心、脳、行動の自由エネルギー原理 作者:トーマス・パー,ジョバンニ・ペッツーロ,カール・フリストン ミネルヴァ書房 Amazon ヒトにおける知覚、認知、運動、思考、意識…それぞれの仕組みの解明に向けた研究が進む中、それらをたった１つの原理で説明する画期的な理論が世界的に大きな注目を集めている。――著者の一人、神経科学者フリストンが提起した「自由エネルギー原理」である。本書ではこの原理の意義を強調しながら、我々が生きる世界についての不確実性を解消する「能動的推論」を解く。認知的現象を統一的に説明した、今までにない新たなモデルを提供する書。 序 文凡 例 第Ⅰ部 １ 序 章 1.1 …

変分法と最初に出会ったのは物理の講義でオイラーラグランジュ方程式とかで出てきた時だと思います．まあなんかわかったようなわからないような未消化の状態でしばらく忘れていました．電総研に入って，大津さんの仕事とかを勉強していくうちに，最適非線形写像とかを変分法で解いたり，最大エントロピー原理でガウス分布が平均・分散固定の下で最大エントロピーになるというのを読んで，むしろこんな単純なんだという気持ちになりました．むしろ変分法の講義はこっちから始めた方がよいのではと思いました． この本はそうした勉強をひととおりやってから買った本で，想像通り単純な変分問題ではなくいきなり場の理論とかの話になっておいてきぼ…

英語の授業を受けるのに困ったので、化学科の学部生が使いそうな英単語をまとめてみました。全部で1557語あります。おおもとの単語リストについては、福岡大学 機能生化研究室サイトの化学英単語を参考にしました。単語の追加、削除、内容の編集を行ったため、なにか問題がありましたらコメント欄かhttps://twitter.com/Dy66thまでお知らせください。 www.sc.fukuoka-u.ac.jp 5'→3' direction 5'→3'方向 ab initio 第一原理 ABS アクリロニトリル・ブタジエン・スチレン樹脂 absolute temperature 絶対温度 absorba…

読んだ論文の備忘録です。進捗があったときに更新されます。 出典 概要 応用上の意義 先行研究との比較 ポイント 0. グレイスケール化 1. ガウシアンフィルタによるデノイズ 2. 微分フィルタによる輪郭の強度・角度の計算 3. 非極大値抑制による輪郭線の明確化 4. 二重閾値による輪郭候補点のふるい分け 5. 輪郭候補点の接続、輪郭形成の完了 1b. メディアンフィルタによるデノイズ 2b. 適応的な二重閾値の決定 実証手法 批判 感想

現在２０２４年１月２１日１９時５０分である。（この投稿は、ほぼ１７２５文字）麻友「もう、終わったのかと、思った」若菜「どうしてですか？」結弦「一方的に、想いを寄せ、相手の女性の両親を殺害し、女性の妹に、怪我を負わせ、家に放火し、全焼させた、当時１９歳の男性、死刑になったし」麻友「それと、これとは、話は違うけど、ストーカー経験者の太郎さん、この男性、なんで、こんなことしたの？」私「怪し過ぎるね。まず、その女性の家庭が、温かいものだったのかどうか、気になるよね。前から何度も触れている、行方不明になっている、叔母さん宅だと、私が、小学校の頃から、色々あった」麻友「どういうことが、起こるの？」私「父や…

大学で学ぶ物理 大学の物理学科では次のようなカリキュラムで物理を学びます． 合格後 3月: 春休み 1年生 4月～7月: 力学（質点系），微積分（1変数），線形代数（行列演算），物理数学（ベクトル解析） 8月～9月: 夏休み 10月～1月: 力学（剛体・振動），電磁気（真空中），微積分（多変数），線形代数（固有値） 2月～3月: 春休み 2年生 4月～7月: 解析力学，電磁気学（物質中・Maxwell方程式），熱力学，微分方程式，複素解析，数理統計 8月～9月: 夏休み 10月～1月: 量子力学（1次元），特殊相対論，流体力学，物理数学（特殊関数），天体物理学（概論） 2月～3月: 春休み 3…

目次 導入 動画紹介1 動画紹介2 動画紹介3 動画紹介4 まとめ 導入 こんにちは。InsightEdgeのデータサイエンティストの小柳です。 本記事では前回の記事で紹介したPyMCの使い方を学ぶ一環として、PyMConの紹介をしようと思います。 突然ですが、PyMCに限らずモジュールの使い方を学ぶ際にはいくつか困難がありますよね。 PyMC固有の話とそうでない話を混ぜて挙げてみると 使う人があまり多くない。機械学習ならいざしらず、統計系の人は組織に少なくなりがち。したがって詳しい人が近くにおらずあまり人に聞けない。 公式ドキュメントを読んでもなんだかよくわからなかったり、なぜ例としているコ…

本稿は実用梁理論(technical theory of beam, Euler-Bernoulli beam theory)とティモシェンコ梁理論(Timoshenko beam theory)をシームレスに解く実用式を紹介しています。 理論の詳細は「SOLID MECHANICS: A VARIATIONAL APPROACH 1973, 材料力学と変分法 1977」 C.L.ディム/I.H.シャームス 共著 /砂川恵 監訳 より 4.5 TIMOSHENKO 梁の理論 を参考にしました。 本稿の弾性曲線式は V''''(x) = p(x), x | 0 => L (technical t…

本稿は実用梁理論(technical theory of beam, Euler-Bernoulli beam theory)とティモシェンコ梁理論(Timoshenko beam theory)をシームレスに解く実用式を紹介しています。 理論の詳細は「SOLID MECHANICS: A VARIATIONAL APPROACH 1973, 材料力学と変分法 1977」 C.L.ディム/I.H.シャームス 共著 /砂川恵 監訳 より 4.5 TIMOSHENKO 梁の理論 を参考にしました。 参考資料から 弾性曲線式は 断面一定として EI * w'''' = q (4.10、4.3 実用梁…

修・令和5年2月23日、西成活裕著の『とんでもなく役に立つ数学』という書籍を読破した。 西成活裕著の『とんでもなく役に立つ数学』という書籍はとんでもなく面白い書籍だった。数学の理論等をふんだんに紹介しながら実社会における諸問題の解決に数学が活用できることを教えてくれる。是非、高校生には読んでいただきたい一冊である。私も高校生の時、いきなり三角関数の授業が始まった時、これがどんなに有用なものなのかは分からなかった。高校で学ぶ「微分・積分」、「ベクトル」、「図形」、「三角関数」、「二次方程式」が、大学の数学における「代数」、「解析」、「幾何」に繋がっていること（41頁参照）。学習する上で、全体との…