変分法

関数 $f$ が $x$ を陽にもっていない場合のオイラーの方程式を，ベルトラミの公式と呼ぶ． $f=f(y, y')$ とする．\[ \frac{df}{dx}=\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)\left(\frac{dy}{dx}\right)+\left(\frac{\partial f}{\partial y'}\right)\left(\frac{dy'}{dx}\right) \]また，オイラーの方程式に $\displaystyle y'=\frac{dy}{dx}$ をかけると\[ y'\frac{\partial f}{\p…

積分 \[ I=\int_a^bf(x,y,y')\,dx \] が停留値をとるような関数 $y=y(x)$ を求めることを考える． $y(x)=y_0(x)+\varepsilon\cdot\delta(x)$，$\delta(a)=\delta(b)=0$ とおく． $\delta(x)$ は 関数 $y_0(x)$ に対する変分を表す関数． 任意の $\delta(x)$ について $\varepsilon=0$ における積分 $I$ の変化量が$0$になる条件を求めればよく，この条件は \[ \left.\frac{dI}{d\varepsilon}\right|_{\varepsil…

これまでの力学は、運動の変化のしかたを表す式に初期条件や境界条件を代入することによって、細かく区切った時間ごとの様子を調べていくものだった。しかし、変分法を使えば、初めと終わりの条件を設定することによって様子を追うことができてしまうのである。変分法が扱うのは、というような積分である。この積分について、「 が極値をとる方法で が変化する」というのが変分法の主張となる。思わせぶりに積分の中身を で書いてしまったが、この をラグランジアンと考えれば、 が極値をとるような を考えると、オイラー・ラグランジュ方程式が導出できてしまう。 がラグランジアンの場合の を作用と呼び、作用についての変分法を特に変…

今回のテーマは「拡張された変分法」についてです。前々回のハミルトンの原理では、運動方程式を導く際に、両端を固定した変分を行いましたが、両端を固定せずに動かす変分を考えることにします。そうすることで、ラグランジュ方程式以外の力学的情報が作用積分から得られます。