p を素数とし、a を p の倍数でない整数(a と p は互いに素)とするときに、 すなわち a を p - 1 乗したものを p で割ったあまりは 1 になるというもの。有名なフェルマーの最終定理と区別するためにあえて「小」定理と称されている。
この定理はピエール・ド・フェルマーの名を冠するが、フェルマーの他の予想と同じく、フェルマー自身によって証明が与えられていたことが確認されているわけではない。この定理に対する証明はゴットフリート・ライプニッツによって初めて与えられた。
ABC228E フェルマーの小定理.問題文通りに考えると, 数列 \(A : N \rightarrow K\) の取り方は \(K^{N}\) 通り. 点数の付け方は \(K^{N} \rightarrow M\) であるから,\(M^{(K^{N})}\) 通り. よって,フェルマーの小定理で求まる. 注意 底 \(M\) が \(0\) のケースはフェルマーの小定理が使えないので個別に計算する. \(M\) の指数は mod \(p-1\) で求める. 使っている記号,マクロ等 "https://ecsmtlir.hatenablog.com/entry/2022/12/23/13192…
作家が死んだ後も作品は続く。株式会社は創業者が亡くなっても続く。有名人が死んでもその人のツイートは残り続ける。研究者が死んでもその人の論文は50年後も引用される。ゴッホは死んだ後に作品が売れた。私たちが死んでも、私たちの話し方を真似たAIが私の代わりに生き続ける。 本記事は、「死後も生き続ける作者の魂」について考える。
概要 暗号化と復号 原理の証明 オイラーのφ関数 フェルマーの小定理 証明 まとめ 概要 RSA暗号は現在普及している公開鍵暗号の基礎となる暗号技術である。説明しているサイトは色々あるが、他人が書いたものなので読みにくかった。私にとって分かりやすいように書く。Wikipediaの同項目を参考にした。 証明中で用いたオイラーのφ関数とフェルマーの小定理については後半で解説した。 暗号化と復号 0以上n未満の整数の集合をとおく。 異なる2つの素数 をとり、 を定義する。 と互いに素であるような(公開鍵)を任意に設定する。 このとき、秘密鍵は \begin{align} d \equiv e^{-1…
昨日のABC F問題のように、既約分数(有理数)を「(mod 素数) における逆元を用いて整数として表現する」ことが問われる場合があります。 atcoder.jp この記事では 分数をなぜ整数として表現できるのか どうやってその値を算出するのか という辺りを丁寧にまとめてみます。 逆数と逆元(数学的に丁寧な話) この項目は数学的に込み入った話になるので、プログラミング的な話に注目する人は飛ばしても良いです。 まず、分数とは何かをあらためて考えてみます。, について、 です。言い換えれば、分数(=除算)は割る数 の逆数 を掛ける操作(=乗算)です。 では、逆数とは何でしょう。 の逆数を と表現す…
素数に関するオイラーの定理ここでは,(フェルマーの) 2平方定理の証明で用いる素数に関するオイラーの定理の証明をします. 2平方定理奇素数(奇数かつ素数,すなわち 3 以上の素数) が 4 で割ると 1 余るとき, は 2 つの平方数の和として表される.2平方定理については,詳しくは上のリンク先に記事がありますので,そちらをどうぞ. 以下が素数に関するオイラーの定理です.オイラーの名前が残っている数多くの定理のうちの一つです. 定理.奇素数 について,\begin{align*} p\equiv 1 \pmod{4} \end{align*}と\begin{align*} x^2\equiv …
フェルマーの小定理(Fermat's little theorem)フェルマーといえば, 360年間もの間証明されなかったことで有名な「フェルマーの最終定理」があります. まず, フェルマーの小定理の内容を紹介します.素数 と自然数 が互いに素であるとき,\begin{align*} a^{p-1}\equiv 1 \pmod{p} \end{align*}が成り立つ.つまり, を で割ると1余る, という意味です. (合同式についてはこちら). 証明ここでは証明を3通り挙げておきます. 1つ目, 2つ目の方が分かりやすいですが, 3つ目の方法はこの定理の一般化であるオイラーの定理の証明に応用…