p を素数とし、a を p の倍数でない整数(a と p は互いに素)とするときに、 すなわち a を p - 1 乗したものを p で割ったあまりは 1 になるというもの。有名なフェルマーの最終定理と区別するためにあえて「小」定理と称されている。
この定理はピエール・ド・フェルマーの名を冠するが、フェルマーの他の予想と同じく、フェルマー自身によって証明が与えられていたことが確認されているわけではない。この定理に対する証明はゴットフリート・ライプニッツによって初めて与えられた。
作家が死んだ後も作品は続く。株式会社は創業者が亡くなっても続く。有名人が死んでもその人のツイートは残り続ける。研究者が死んでもその人の論文は50年後も引用される。ゴッホは死んだ後に作品が売れた。私たちが死んでも、私たちの話し方を真似たAIが私の代わりに生き続ける。 本記事は、「死後も生き続ける作者の魂」について考える。
概要 暗号化と復号 原理の証明 オイラーのφ関数 フェルマーの小定理 証明 まとめ 概要 RSA暗号は現在普及している公開鍵暗号の基礎となる暗号技術である。説明しているサイトは色々あるが、他人が書いたものなので読みにくかった。私にとって分かりやすいように書く。Wikipediaの同項目を参考にした。 証明中で用いたオイラーのφ関数とフェルマーの小定理については後半で解説した。 暗号化と復号 0以上n未満の整数の集合をとおく。 異なる2つの素数 をとり、 を定義する。 と互いに素であるような(公開鍵)を任意に設定する。 このとき、秘密鍵は \begin{align} d \equiv e^{-1…
昨日のABC F問題のように、既約分数(有理数)を「(mod 素数) における逆元を用いて整数として表現する」ことが問われる場合があります。 atcoder.jp この記事では 分数をなぜ整数として表現できるのか どうやってその値を算出するのか という辺りを丁寧にまとめてみます。 逆数と逆元(数学的に丁寧な話) この項目は数学的に込み入った話になるので、プログラミング的な話に注目する人は飛ばしても良いです。 まず、分数とは何かをあらためて考えてみます。, について、 です。言い換えれば、分数(=除算)は割る数 の逆数 を掛ける操作(=乗算)です。 では、逆数とは何でしょう。 の逆数を と表現す…
素数に関するオイラーの定理ここでは,(フェルマーの) 2平方定理の証明で用いる素数に関するオイラーの定理の証明をします. 2平方定理奇素数(奇数かつ素数,すなわち 3 以上の素数) が 4 で割ると 1 余るとき, は 2 つの平方数の和として表される.2平方定理については,詳しくは上のリンク先に記事がありますので,そちらをどうぞ. 以下が素数に関するオイラーの定理です.オイラーの名前が残っている数多くの定理のうちの一つです. 定理.奇素数 について,\begin{align*} p\equiv 1 \pmod{4} \end{align*}と\begin{align*} x^2\equiv …
フェルマーの小定理(Fermat's little theorem)フェルマーといえば, 360年間もの間証明されなかったことで有名な「フェルマーの最終定理」があります. まず, フェルマーの小定理の内容を紹介します.素数 と自然数 が互いに素であるとき,\begin{align*} a^{p-1}\equiv 1 \pmod{p} \end{align*}が成り立つ.つまり, を で割ると1余る, という意味です. (合同式についてはこちら). 証明ここでは証明を3通り挙げておきます. 1つ目, 2つ目の方が分かりやすいですが, 3つ目の方法はこの定理の一般化であるオイラーの定理の証明に応用…
自己紹介 MMA Contestとは 当日までの話(自分語りなのでスキップ推奨) 当日、会場にて 結果 A B C D E F G H I, J, K, L 乾燥した感想 脚注 自己紹介 はじめまして、電気通信大学Ⅲ類機械システムプログラム所属、とりあえずで決めた名前を引きずっていたらとうとう最近同じ発音の名前の人が後輩に現れてしまってそろそろ改名を考えているしゅん/Сюнという者です。 いろいろやらかして留年してしまい、システム上は4年生ですがまだ研究室に入っていません。頑張らないとですね。 AtCoderではstunniitaとして参加しています。現在は茶色です。 atcoder.jp 電…
結果・感想 WaniCTF2023に参加しました。高専時代の先輩たちのチームに混ぜてもらいました。 20位でした!個人では、cryptoのpqqp, fusion、miscのrange_xor, int_generatorを解きました。 4つとも数学とか競プロっぽくて面白かったです。 もくじ 結果・感想 解説 Misc range-xor Misc int-generator Crypto pqqp Crypto fusion Crypto fusion あとがき 余談 解説 自分が解いた問題の解説をします。 Misc range-xor この問題は完全に競プロです。i番目の整数まで見て、その…
WaniCTF 2023 にソロで参加しました。全完して4位でした。
ソロオンライン参加 9完10位 各問題の考察内容 ここでの問題順番はAC順. B: Merge Sequences 個を全て列挙は当然できない. そこで, 大きい 個のみを列挙しなければならない. 列挙する必要がある数のうち, 最小の値が分かっていればそれ以上の値になるものだけを列挙すればよくなり, 判定も構築も二分探索でできる. かなり典型度が高い問題なので実際は考察を挟まず実装に手を付けた. C: Range Same Query 全て等しいことと, 最大値最小値に気づけるかが肝. 前者は基本的には範囲内の全ての要素を確かめなければいけないが, 後者は最大値と最小値の つの値のみを高速に取…
ちょっとだけおさらいから入りましょう。 $p$を素数、$F_p$を 位数$p$の有限体とします。$F_p$の$0$以外の元の集合$F_p^{\times}$は位数$p-1$の巡回群になります。そうするとフェルマーの定理から任意の$x\in F_p$について$x^{p-1}=1$が分かります。両辺に$x$を掛ければ$x^p=x$となります。この式は$x=0$も含めて$F_p$の全ての元で成り立ちます。また$x^p=x$を$F_p$あるいはその拡大体での方程式と見た時、その解の個数は多項式の理論から高々$p$個です。一方、実際に$p$個の要素を持つ有限体$F_p$の元は全てこの方程式の解となってい…
いよいよこのシリーズも核心に入っていきます。今回は平方剰余の定義を与え、平方剰余記号を定義します。また平方剰余の基本的な性質を示した後、平方剰余の相互法則と関連する補充則などを紹介し、簡単なものには証明をつけます。最後に平方剰余の相互法則をより対称な形で表した命題を提示し、それが成り立つことをMaximaで再確認してみます。 定義 \(p\)を奇素数として\(a\)を\(p\)と互いに素な整数とします。\(a\)がある整数\(n\)の平方と法\(p\)で合同である時、\(a\)を\(p\)の平方剰余であるといいます。式で書けば、方程式\(X^2\equiv a\,(mod\,p)\)が解を持つ…
はじめに このブログに書かれていること 自己紹介 注意 Part3 現代の暗号 共通鍵暗号方式と鍵配送問題 鍵配送問題とは? 共通鍵暗号方式と公開鍵暗号方式の違いとメリット・デメリット RSA暗号 RSAで使われる鍵 処理手順 暗号化の手順 復号の手順 RSA暗号の数学的背景 一次不定式が自然数解を持つ理由 eとLの関係性 そもそもなぜこの式で元の平文に戻るのか?の数学的根拠 証明パート1 フェルマーの小定理 中国剰余定理 RSA暗号をPythonで 楕円曲線暗号 楕円曲線とは? 楕円曲線の式 楕円曲線における足し算の定義 楕円曲線における引き算の定義 無限遠点 楕円曲線における分配法則と交換…
2023/04/08 『数の女王』(川添愛:著/東京書籍)を読んだ。 まずは出版社の紹介文を引く。 人間一人ひとりに「運命の数」が与えられている世界。メルセイン王国の王妃は、呪いで敵を殺しているという噂があった。王妃の娘で13歳のナジャはある日、数年前に死んだ最愛の姉ビアンカが、実は王妃によって殺されたという話を耳にする。その後、ナジャはあるきっかけで、禁じられた計算を行う妖精たちと出会い、王妃の秘密を知ることになる―「数」が運命を司る、不思議な国の物語。数論とアルゴリズムをテーマにした傑作ファンタジー! 数の女王 作者:川添愛 東京書籍 Amazon 川添愛氏は初読みである。読んでその独特の…
今回エントリーするのは、山本芳彦『数論入門』岩波書店だ。この本は以前にも、このエントリーで紹介しているが、今回は違う観点から推薦したいと思う。 数論入門 (現代数学への入門) 作者:山本 芳彦 岩波書店 Amazon ゆえあって、最近またこの本を読み始めたのだが、面白くて遂にほぼ全部読んでもうた。そして全体を読破すると、この本がもくろんでいること、この本の特質がひしひしつと伝わってきた。ひとくちに言えば、この本は、「ドラマの優れた総集編を観るようなすばらしい内容」ということなのだ。 ドラマの総集編って、全12話を4話ぐらいでかいつまむ。もちろん、圧縮しているので、カットされたエピソードもあるし…
...あれ、見えてますかね? こんにちは、抹茶大好きまっちゃラテです!! え~...すみません、話が苦手なもので、ブログも何を書けばいいかわからんですが... 今回、Mojacoder さんで開かせていただきました、私の単独コンテスト、Matcha Rate's Sakura Contest -MRSC- 🌸🍡 の、裏話やどんなことをやったのかなど、ここに記録していこうと思います! えーとその前に... 私がコンテスト、または問題作成の際に心がけていることを記します。主に以下の 4 つです。 私としたことが、GTXC のやつも忘れてたので、ここに記します。 ラテ流作問の掟目次 第一: やはり最…
https://kenkoooo.com/atcoder/#/contest/show/b57b32ea-19c0-4724-ab73-f7839e0cae86 4問目 atcoder.jp(+1, +2), (+2, +1)★マスの移動は下記のように分解できる。 (+1, +2 ) = (0, 1) + (1, 1) (+2, +1 ) = (1, 0) + (1, 1)n * m の格子点の左下から右上に行く問題に帰着できる。また、一回移動するたびに x + y = +3 移動回数をnとすると 合計でn回移動するため、目標地点(格子の右上の点)は(X-n, Y-n) となる。 これを (A…
Lucasの定理を用いてを求めるPythonスクリプトを作ってみました。 lucas.py 7行目は、フェルマーの小定理 より、 を用いています。(p:素数) 実行 % python lucas.py 13 3 3 1 参考 Lucasの定理とその証明 | 高校数学の美しい物語
昨日の記事に書いた 「ChatGPT」を体験してきました。 文章で何を聞いても とても賢い人間が書いたかのような返答の来るAIです。 質問 「世界経済はどうなっていくのか」 ぶ・・・無難な答えw 僕が抽象的に聞きすぎてるのか 他の質問にも 似たような無難な返答になることがありました。 次の質問 「フェルマーの小定理の簡単な証明はある?」 エクセルやプログラミングに強いとの噂を聞いたので 具体的な数学的質問。 「群論で簡単に証明できます」 くらいを期待したら めっちゃ具体的な証明を書いてきた、スゴイ・・・ ただ合ってるかは知らないw パッと見た感じ3で定理自体を使ってて 間違ってそうな予感。 最…