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有理数

サイエンス

有理数

ゆうりすう

実数の内でa/b(aとbは整数)という分数で表せる数全て。例えば、¥sqrt{2}有理数ではないが(証明以下参照)、一方で1.4, 1.41, 1.414…という¥sqrt{2}を近似する小数は1.4=14/10, 1.41=141/100, 1.414=1414/1000となり有理数となる。

集合論では、整数の直積からなる代数系を適当な同値類で割って構成される。有理数全体からなる集合は可算無限集合である。有理数上のコーシー列?を適切な同値関係で割ることで実数体が構成される。他の方法としてデデキント切断?がある。


アリストテレス『分析論前書?』による ¥sqrt{2}無理数であることの証明:(背理法 ※)

仮に¥sqrt{2}=a/bと二つの整数による分数で書けたとする。まず、aとbに共通な素数があれば、あらかじめa/bが¥sqrt{2}のままで両方をその素数で割っておけるので、初めからaとbは互いに共通な素数を含まないと仮定できる。次に、両辺を二乗し整理すると2 b^{2}=a^{2}となる。この時、2はa^{2}=a aを割り、2は素数であるのでaを割る。よって、右辺a^{2}は4で割りきれる。ここで、左辺には既に2があるが、b^{2}は少なくとも2で割れるはずである。従って、2がa^{2}を割った時と同様に2はbを割る。よって、aとbの両方が2で割れるので、最初のaとbが共通の素数で割れないという仮定に反する■(証明終わり/Q.E.D)。

※ 厳密には否定導入則というべきところである。

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