レムニスケート

≪１≫ 平面上に２点があって、そこからの距離の 和 が一定な曲線は？といえば、楕円。 積 が一定なら？といわれりゃレムニスケート！ なら、ベキならどうなの？という記事が、これまた半世紀まえ（正確には45年前）の雑誌「現代数学」［１］にありました。 記事の著者山下先生も、当時の最新型計算機？HITAC-10を最大限に活用されて数値の計算やそのグラフ化をされておられ、いま読み返してみますと計算機性能の違いにやはり隔世感を味わえ、じわります。 （写真はweb「日立評論1969年11月号:超小形電子計算機 HITAC 10」より。当時価格で、約500マンエンとのことデス。） 本日は、ベキの場合を今日的…

≪１≫ 今週の円とレムニスケートとのあいだの図形を探る試行に関連して、ちょっと前のノートに書き込んであったのを見つけましたので、少々補填しておきます。 そもそもの試みは、円周率とレムニスケート定数の中間図形を求めようとのものでした。すなわち、 としたとき、ｘ＝２ならｆ(２)＝π 、ｘ＝４のときはｆ(４)＝レムニスケート定数となる流れから、その中間であるｘ＝３、すなわち が周率となるような図形はどんなもの？というものでした。 ≪２≫ 前のノートにあったというのは、「本家」の楕円のなかでそんなのはないのかなぁという発想のものでした。結果は、やはりピッタシかんかんなものはなくて下記の結果でした。 円…

≪１≫ 図形：レムニスケートと、図形：円は、このような 容姿なのは有名。また、これの周率となる次式＝レムニスケート定数もよくお目にかかるものですね。 このとき、「周率」がらみでおなじみの円周率 π もひっぱりだされます。 この２つの数式を眺めていますと、善良なひとなら次のような疑問が生じてきます。 「そんなら、中間の３乗の場合はどんな図形の周率かな？」 本日はここらへんをかじってみようと思います。 ≪２≫ さしあたり、指数のところをｘの関数としますと、 となりまして、ｘ→＋０ならｆ(ｘ)→∞、ｘ→∞ならｆ(ｘ)→２はすぐ想定できるとして、ＰＣでカタカタっとすると、ガンマさん援用の次式と全体像が…

数学界の帝王と呼んでも違和感ないのがガウスですが、彼が楕円関数を発見するキッカケとなったのが、レムニスケートという曲線でした。 この曲線はスイスの数学者ヤコブ・ベルヌーイにより発見命名されています。 デカルト座標での方程式を示す。 この周の長さは次の積分に帰着します。 これが、高木貞治の『近世数学史談』で「多幸なる1797年1月8日に至って,ゆくりなくも正しきもの」とした積分であります。ガウスの青年時代の驚異の年月ですね。 拡張するために極座標で表示しておきます。 円は同様な式になります。 原点が x=a/2 になっています。 一般的には、ａが正で、ｎが有理数として、円とレムニスケートは下式に…