曲線の長さ

京大2018年度第５問は, 前回の記事で紹介したように, 次のような問題でした. 問題 : 曲線 上の点 における法線上に, 点 を となるようにとる. ただし の 座標は より大きいとする.(1) 点 の座標 を求めよ. また, を求めよ.(2) 実数 は を満たすとし, が から 1 まで動くときに点 と点 が描く曲線の長さをそれぞれ とする. このとき, 極限 を求めよ. この問題の (2) で, と を積分の形で書いたときに, 同じ項が出てきて引き算すると消える, ということが起きました. \begin{align*} L_1(r) &= \int_r^1 \dfrac{\sqrt{1…

問題.曲線 上の点 における法線上に, 点 を となるようにとる. ただし の 座標は より大きいとする.(1) 点 の座標 を求めよ. また, を求めよ.(2) 実数 は を満たすとし, が から 1 まで動くときに点 と点 が描く曲線の長さをそれぞれ とする. このとき, 極限 を求めよ. 媒介変数表示された曲線の長さの問題です. 平面上の曲線が\begin{align*} x &= f(t)\\ y &= g(t)\quad (a\leqq t\leqq b) \end{align*}によって表されていて, が微分可能であれば, この曲線の長さは\begin{align*} L = \i…

数学界の帝王と呼んでも違和感ないのがガウスですが、彼が楕円関数を発見するキッカケとなったのが、レムニスケートという曲線でした。 この曲線はスイスの数学者ヤコブ・ベルヌーイにより発見命名されています。 デカルト座標での方程式を示す。 この周の長さは次の積分に帰着します。 これが、高木貞治の『近世数学史談』で「多幸なる1797年1月8日に至って,ゆくりなくも正しきもの」とした積分であります。ガウスの青年時代の驚異の年月ですね。 拡張するために極座標で表示しておきます。 円は同様な式になります。 原点が x=a/2 になっています。 一般的には、ａが正で、ｎが有理数として、円とレムニスケートは下式に…