マクスウェル方程式

マクスウェル方程式

(サイエンス)
まくすうぇるほうていしき

以下の4つの方程式で表される、電場と磁場に関する方程式。湧き出し(divergence, \vec{\nabla} \cdot)や回転(rotation, \vec{\nabla} \times) といった流体のイメージを喚起する微分演算子を使って書かれている。実際マクスウェルは流体とのアナロジーで方程式を考案したといわれている。

  • \vec{\nabla} \cdot \vec{D} = \rho 電気力線は電荷から湧く
  • \vec{\nabla} \cdot \vec{B} = 0 磁力線は湧かない
  • \vec{\nabla} \times \vec{E} = -\partial \vec{B}/\partial t 磁場が変わると電場が巻く
  • \vec{\nabla} \times \vec{H} = \partial \vec{D}/\partial t + \vec{j} 電場が変わるか電流があると磁場が巻く

\vec{E} は電場、\vec{D} は電束密度と呼ばれ、真空中では電束密度は電場に比例する\vec{D}=\varepsilon_0\vec{E}\varepsilon_0は真空中の誘電率と呼ばれる。
\vec{H} は磁場、\vec{B} は磁束密度と呼ばれ、真空中では磁束密度は磁場に比例する\vec{B}=\mu_0\vec{H}\mu_0は真空中の透磁率と呼ばれる。

相対性理論的に共変な形式にマクスウェル方程式を書くと、非常にきれいな形になる。4元ベクトルポテンシャルA^\mu=(\phi/c,\vec{A})から、電磁場テンソルf_{\mu\nu}=\partial_\mu A_\nu-\partial_\nu A_\muを定義すると、マクスウェル方程式は以下のように書ける。

  • \partial_\mu f_{\nu\rho}+\partial_\rho f_{\mu\nu}+\partial_\nu f_{\rho\mu}=0
  • \partial_\mu f^{\mu\nu}=j^\nu/\varepsilon_0

ただし、j^\mu=(c\rho,\vec{j})は4元電流密度である。

更に、微分形式を用いた表現もできる。2-形式 f=f_{\mu\nu}dx^\mu\wedge dx^\nu/2 と 1-形式 j=j_\mu dx^\mu を導入することで、マクスウェル方程式は

  • df=0
  • *d*f=j

と書ける。ただし、d は外微分作用素、* はホッジの星印作用素である。

場の古典論―電気力学,特殊および一般相対性理論 (ランダウ=リフシッツ理論物理学教程)

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