相対性理論

相対性理論

(音楽)
そうたいせいりろん

2006年結成のバンド。

mF247にてフリーダウンロード可能な「LOVEずっきゅん」がインターネット上で話題となる。バンド編成は流動的で、やくしまるえつこと永井聖一は固定メンバーである。

メンバー

  • 現在のメンバー
    • やくしまるえつこ (Vo)
      • 作詞作曲は「ティカ・α」名義
    • 永井聖一 (Gt)
    • 吉田匡 (Ba)
    • itoken (Dr)
    • 山口元輝 (Dr)
    • ZAK (サウンドエンジニア)
  • 元メンバー
    • 真部脩一 (Ba.Cho)
    • 西浦謙助 (Dr)

ディスコグラフィー

TOWN AGE

TOWN AGE

正しい相対性理論

正しい相対性理論

シンクロニシティーン

シンクロニシティーン

アワー ミュージック

アワー ミュージック

ハイファイ新書

ハイファイ新書

シフォン主義

シフォン主義

  • アーティスト: 相対性理論,やくしまるえつこ,永井聖一,真部脩一,西浦謙助
  • 出版社/メーカー: SPACE SHOWER MUSIC
  • 発売日: 2008/05/08
  • メディア: CD
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相対性理論

(サイエンス)
そうたいせいりろん

アルバート・アインシュタインにより発見された物理理論、特殊相対性理論と一般相対性理論の総称。

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特殊相対性理論

ニュートン力学と電磁気学を統合した物理理論。主に高速度・高エネルギーで動く物質における物理を記述する。

歴史

19世紀までは、ニュートン力学の正当性は疑われなかった。そこに登場したのが、マクスウェル方程式で記述される電磁気学である。マクスウェル方程式は、真空中で一定の速度(光速度c)で伝播する、電磁波を解としてもつ。問題は、どの系から見て速度cであるか、であった。当時の物理学者は、他の波動と同じく、電磁波にも媒質が必要だと考え、宇宙のすみずみまで行きわたっている媒質「エーテル」の存在を仮定し、電磁波はエーテルに対して、速度cで伝播すると考えた。
地球はエーテルの中を移動していると考えられるため、エーテルが実在するとすれば、地球はエーテルに対して運動していると考えられるので、地球上での光速度はその方向などにより変動するはずである。これを観測しようとしたのが、例えばマイケルソン・モーレーの実験である。
しかし、いかなる実験においても、光速度の変化は観測されなかった。この、エーテル理論と実験との不一致を説明するために、ローレンツ*1は、旧来のガリレイ変換*2ではなく、ローレンツ変換を使用する理論を提唱した。だが、ローレンツはローレンツ変換をあくまで便宜的なものと考え、その物理的意味を見出すまでには至らなかった。
アインシュタインは、1905年の論文で、ローレンツ変換が本質的な変換であると主張したと言える。これにより結局、エーテルの存在は不必要となった。

仮定とローレンツ変換

アインシュタインは以下の仮定を元に、特殊相対性理論を構築した。

  1. 相対性原理:いかなる慣性系*3においても、全く同じ物理法則が成り立つ。
  2. 光速不変の原理:光速度cは、いかなる慣性系から見ても等しい。
  3. 慣性系の間の変換は、移動する速度が小さい場合、ガリレイ変換に近似的に一致する。

特殊相対性理論は、これらのみから理論全体が構成される。
これらから、ローレンツ変換を導くことが出来る。結果のみ示すと、

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\left(\begin{matrix}x'^0\\x'^1\\x'^2\\x'^3\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\gamma &-\beta\gamma&0&0\\-\beta\gamma&\gamma&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x^0\\x^1\\x^2\\x^3\end{matrix}\right)
ただし、\gamma=\sqrt{1-\beta^2}\beta=v/c。また、系 x' は基準となる系 x に対し、x^1方向に速度 v で移動しているものとする。ここで、x^0=ct 等は時間、x^1=x,x^2=y,x^3=z は空間座標を表す。相対性理論では一般的に使用される記法である。

特殊相対性理論の世界観

エネルギーと質量

特殊相対性理論によれば、エネルギーEと質量mは同等なものであり、式E=\gamma mc^2で結ばれる。

光速度

E=\gamma mc^2で、v\rightarrow cとすると、エネルギーは発散する。これは、いかなる(質量を持つ)物質も光速度に達するには、無限大のエネルギーが必要であることを意味している。

時空

ローレンツ変換は旧来のガリレイ変換と違い、変換時に時間と空間が混ざる性質を持つ。これは、時間と空間とが本質的には同じものであることを示唆しており、合わせて4次元の時空、特に数学的にはミンコフスキー時空、あるいはミンコフスキー空間と呼ぶ。
ミンコフスキー時空の一点Aを通る光の軌跡は、4次元時空内の円錐2つを点Aでくっつけたような形になる。これを光円錐と呼ぶ。光円錐の内側(つまり、時間軸の方向)を時間的、外側(つまり、空間軸の方向)を空間的と呼ぶ。

同時刻の相対性

点Aに対し時間的な時空では、未来、現在、過去を定義することは簡単である。時間軸正方向の時間的時空が未来 (「時間的未来」)、点Aが現在、時間軸負方向の時間的時空が過去 (「時間的過去」)、とすれば良い。
一方、空間的な時空では話は簡単ではない。同じ点Aであっても、ローレンツ変換を施すことにより、空間的な時空では、点Aと同時刻である時空上の面が変わってくる。すなわち、どの慣性系から見るかによって、「点Aと同時刻」の定義も、未来、過去の定義も変わってくる。これを同時刻の相対性と呼ぶ。

一般相対性理論

一般相対性理論は、ニュートンの理論にかわる、重力の理論である。主に、宇宙的なスケールの現象における物理を記述する。
一般相対性理論によれば、時空はそれ自身が歪み、変形する。まさに、この時空の歪み自身が重力なのである。これを記述するために使われた数学が、リーマン幾何学である。

仮定

一般相対性理論は以下の仮定の元に構築されている。

  1. 一般相対性原理:いかなる座標系においても、全く同じ物理法則が成り立つ。
  2. 等価原理:重力が働いている系においても、座標変換をすることにより、(局所的に)慣性系にすることができる。これにより生まれた慣性系を「局所慣性系」と呼ぶ。この原理は、「重力質量と慣性質量は等しい」と言い替えることも出来る。
  3. 重力が弱い極限で、特殊相対性理論と一致する。

一般相対性理論はこれらの仮定からのみ導出される。

アインシュタイン方程式と運動方程式

一般相対性理論において、重力場を記述する方程式がアインシュタイン方程式であり、以下の形に書かれる。
G_{\mu\nu}=\frac{8\pi G}{c^4}T_{\mu\nu}
G は万有引力定数、T_{\mu\nu} はエネルギー運動量テンソル、G_{\mu\nu}=R_{\mu\nu}-Rg_{\mu\nu}/2 はアインシュタインテンソルである。ここで、R_{\mu\nu} はリーマンの曲率テンソル、R はスカラー曲率、g_{\mu\nu} は計量テンソルである。*4
重力場の中の、粒子の運動方程式は以下の形に書かれる。
\frac{Du^\mu}{d\tau}=0
u^\mu=Dx^\mu/d\tau は4元速度、\tau は固有時間、Du^\mu/d\tau=du^\mu/d\tau+\Gamma_{\rho\nu}^\mu u^\rho u^\nu は共変微分である。ここで、\Gamma_{\rho\nu}^\mu はアフィン接続係数である。

一般相対性理論の結果

もっとも有名なのはブラックホールである。アインシュタイン方程式の一つの解として、あまりに強い重力のために、何者も、光すらも逃げ出すことの出来ない天体、ブラックホールが得られることを最初に示したのは、シュバルツシルトである。完全に球対称な場合を仮定すると、質量 M の星が半径 2GM/c^2 以下になると、その星はブラックホールとなる。
反対に、何者も中に入ることの出来ない天体、「ホワイトホール」。時空の遠く離れた部分を結ぶ「ワームホール」など、様々な解が発見されている。
一つの重要な結果は、重力波である。アインシュタイン方程式を近似することで、ちょうど重力ポテンシャルに対応する計量テンソルのずれ*5が、波動方程式 □h_{\mu\nu}=-16\pi GT_{\mu\nu}/c^4 を満たすことが分かる。*6 すなわち、重力は電磁波などと同じく「重力波」という形をとって、非常に微弱ではあるが、空間を伝わって来るのである。例えば、2つの星が互いの周りを回る連星系から、重力波が出ると考えられる。しかし、あまりに微弱であることから、重力波はいまだ観測されていない。

*リスト:リスト::物理関連

*1:厳密にはローレンツが最初ではないらしいが

*2:簡単に言えば、我々が直感的に考える物の動き。つまり、位置\vec{x}にある物体Aを、速度\vec{V}で動く系から見ると、Aは位置\vec{x}'=\vec{x}+\vec{V}tで動いているように見える。ここでtは時刻である

*3:加速度運動をしていない系

*4:宇宙項は右辺に含めることが多くなっているため、省略した

*5:ミンコフスキー計量からのずれを意味している

*6:ただし、調和ゲージ、およびTTゲージをとった

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