中心極限定理

こんにちは. ぱいです. このあいだ会社の図書室で本を立ち読みしていたら面白い問題があって面白かったので, 紹介します. (参考文献 [1] の p.49, 演習問題 2.8) 問題次の極限はいくらに収束するか？\begin{align} \lim_{n \to \infty} e^{-n} \sum_{k=0}^{n} \dfrac{ \ n^{k} \ }{ \ k! \ } = ？ \end{align} この問題の意味は,「指数関数 とその巾級数表示の部分和 を戦わせてみよう！どっちの方がどれくらい速く発散するかな！？」という感じだと思います. ヒント：ポアソン分布と中心極限定理を使う…

前回 defpediatric.hatenablog.com 統計、機械学習ときて今回は推測統計 要は「どれくらいデータが必要か」を明らかにする方法。 今回から開発環境をPycharmからgoogle colaboratoryに変更した。 理由は医局と自宅とでやるのでドライブに保存してある方が楽なのと、医療AI人材育成コースの授業がgoogle colaboratory推奨だから。まぁ別にPycharmでもやれるんだけど。 中心極限定理 母集団から標本をランダムにn回取った時、標本の平均値がばらついてしまうと信頼性は欠ける。 ここで、大数の法則 標本集団の平均値は、母集団の平均値に近い 標本平…

統計学の入門書には中心極限定理について、「どんな分布の母集団であれ、抽出するサンプルサイズnが大きくなるにつれて標本平均の分布は、平均μ、分散 の正規分布 に近づく。」という記述があります。初めの頃は標本平均の分布って何？という状態であり、今でも正直、標本サイズの話なのか標本数の話なのかよくわかっていないところがあります。そこで実際にPythonを使って確認してみたいと思います。0. 必要なライブラリの準備 まずは下記ライブラリを準備します。 # 数値計算ライブラリ import numpy as np from scipy import stats # グラフ描画ライブラリ import m…

ｲｱﾝ・ｽﾁｭｱｰﾄ 著 徳田 功 訳 「不確実性を飼いならす」ﾒﾓ 不確実性を飼いならす——予測不能な世界を読み解く科学 作者:イアン・スチュアート 白揚社 Amazon イアン・スチュアート著 徳田 功訳「不確実性を飼いならす 予測不能な世界を読み解く科学」メモ５ 情報が多すぎる----------------------------------------------------------------------------------【まとめ】・最小二乗法：誤差の二乗の総和を最小にすることで、最小の誤差を求めることができる。・中心極限定理：試行回数が多い場合に二項分布は正規分布に近き…

ーーーーーーーー 主要内容 紹介書籍 母比率の区間推定 「母比率」の定義 母比率や標本比率の従う分布 母比率の区間推定 ーーーーーーーー 昔、統計検定2級に受かりましたが、「自分、統計検定2級です」と堂々と言えないくらいにいろいろ忘れとる感じです(汗)。統計学入門的な内容をいろいろ復習しながら、備忘録として記事にしていきたいと思います。 以下に、参考にした書籍を4つ紹介しておきますね。 〖2021/2/19 追記；紹介書籍をもう一つ追記しておきます〗 ↓↓↓ 紹介書籍 紹介書籍①： 【リンク】⇒Amazon/通販/商品紹介ページ；東京大学教養学部統計学教室(編)(1991年) 『統計学 基礎統…

はじめに この記事では中心極限定理（central limit theorem ; CLT）を扱います。仮説検定はもちろん統計的推論（statistical inference）の大前提となる重要な定理です。内容の一部を東京大学出版の『統計学入門』の第8章を参考にしています。CLTにも研究者によるバリエーションや付随する条件など色々ありますが、細かい事項には踏み込みません。 はじめに 定義の確認と大数の法則との違い 証明 イメージで理解する 疑問点 参考文献 定義の確認と大数の法則との違い まずはCLTの定義を確認しましょう。 (1)の左辺はある確率の収束先を示しています。ある確率とは、確率変…

「統計学とは何か、そしてベイズ統計学の話」に反論があまり寄せられなかったので調子に乗って、今度は（古典的な）統計モデルの話（ただ、だいぶ理解の怪しい話なので間違いがあれば教えてほしい）。 現実の世界では単なる加減算だけでなく２乗や 3 乗あるいはべき乗、反比例といったいろいろな関係があるはずなのに統計モデルではめったに出てこない。あったとしても対数変換や一般化線形モデルのリンク関数のように、それぞれの方法で１次関数の線形モデルに落とし込んで扱うものばかりで任意のモデルを自由に扱えるようなものではない。 では、n次関数はどう扱うんだろうと思って、調べた結果「Wikipedia: 多項式回帰」にた…

選択の正誤をどう判断するのか 普通に生きていれば，対峙する選択の殆どは 1. その根拠をバイアスに基づいて選び取ってくる 2. 事後の感情に基づく という方法でしかその正誤を判断できないものだと考える 良い選択 (unclear) をするには，未来は分からないので，1 しかない ex.) 今後の人生でお茶とコーヒーどっちかしか飲めないならどうするか 「コーヒーはカフェインを含むし歯が汚くなるからお茶にする」 「お茶飲んでも眠気覚ましはできないしなんか年寄りっぽいからコーヒーにする」 どっちでも良いけど結局重要なのは最終的な選択であって，それまでの数十文字は自分の選択を正当化するために(不都合な…

数学って理科みたいに実験することって僅かです。三角比を利用して校舎の高さを測ったり、自転車のタイヤに印をつけて走っているのを横から見てサイクロイド曲線を観察したり…いずれも教室の外に連れ出すので楽しいのですが何かと面倒です。でも今日は違います。「よーし、今日は教室で実験するぞー」と生徒たちも私もウキウキです。😁 画用紙に1辺の長さが1の正方形をかいて、その中に4辺に内接する円を描きます。 この画用紙の上から正方形内にn粒の黒ゴマをランダムにふりかけると、正方形と円の面積がそれぞれ1とπ/4ですから、ゴマが円の内側に入る個数Xを使って、円周率がπ^=4X/nで点推定できます。 さらにi番目のゴマ…

不偏推定量の推定量の良し悪しは、分散の大小によって評価します。 推定量として分散が小さければ小さいほど、よい推定量になりますが、実際に分散には下限が存在します。 クラメール・ラオの不等式は、分散の下限をフィッシャー情報に基いて数式化したものです。 この記事では、クラメール・ラオの不等式について解説しています。 1. スコア関数 1. 定義 2. 性質 2. フィッシャー情報量 1. 定義 2. 性質 3. クラメール・ラオの不等式 1. 定義 2. 有効推定量 (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({}); 1. スコア関数 1. 定義 を…

1000人ほどを調べただけの支持率14％が、なぜ1億人による支持率に近いのか？ その秘密が「中心極限定理」ーーサンプルサイズがある程度大きければ、標本の平均の分布は正規分布の形になる。 統計は不思議だ。というか、自然も社会もなぜ正規分布っぽく凝集するのだろう？ https://mainichi.jp/articles/20240218/k00/00m/010/076000c → 聞きかじりの話で重点を外したかもしれない。母集団がどんな分布をしていても、サンプル調査を繰り返し＜各サンプル調査の平均値＞を多数並べてみると、みごとに正規分布に近づくーーというのが「中心極限定理」の核心のようだ。だから…

統計検定の公式に、1級の試験範囲が公開されています。 www.toukei-kentei.jp 下記の試験範囲に記載されている各項目について、解説記事を作成しました。 確率と確率関数 種々の確率分布 統計的推測 (推定) 統計的推測 (検定) データ解析法の考え方と各種分析手法 ※リンクが張られていない項目は現在作成中です。 1. 確率と確率変数 1. 事象と確率 2. 確率分布と母関数 3. 分布の特性値 4. 変数変換 5. 極限定理と確率分布の近似 2. 種々の確率分布 1. 離散型分布 2. 連続型分布 3. 標本分布 3. 統計的推測(推定) 1. 母集団と標本・統計量 2. 尤度と…

昨今の品質不正問題を見るに、個別の事例における真因ではないものの品質管理の初歩的な知見が適切に教育されていないのではないかと疑うような事例が多々見受けられます。 特に多いのが、その場での試験に合格すればよいとした、量産でのばらつきを考慮していないような事例です。 現実にはまったく同じものが生産できることなどなく、生産品には必ずばらつきが生じます。そういったばらつきを考慮した信頼性設計をしていれば数値を書き換えたり供試品に手を加えたりするような不正をする必要なんてありません。 品質管理の大家であるトヨタグループですら誤魔化しのための数値書き換えやデータ選別に類する不正が行われていたことは、正直理…

というNBER論文をジェームズ・ハミルトンらが上げている（ungated版）。原題は「Principal Component Analysis for Nonstationary Series」で、著者はJames D. Hamilton（UCサンディエゴ）、Jin Xi（同）。 以下はその要旨。 This paper develops a procedure for uncovering the common cyclical factors that drive a mix of stationary and nonstationary variables. The method does…

シミュレーションによる統計学習 しばらく放っておいた書籍をやっとちゃんと読み出しました。 www.hanmoto.com たとえば、大数の法則とか、中心極限定理とか、統計学には難し気な名前の法則やら定理やらが出てきますが、実際に乱数を発生させてシミュレーションしてみると、なあんだこういうことを言っているのか、とわかることがあります。 その「分かり方」は、数式をもとに原理的に理解する「分かり方」と同じではないでしょう。しかし、訳も分からないまま先に進むよりも、ずっと安心してその後の学習を続けられるように思います。 この本ではR用いたシミュレーションによる統計学の理解を紹介してくれています。一方、…

年末年始にかけて読書欲が急上昇中。 今年の目標は積読消化なので、この熱が冷める前に読み耽りたいと思います。 どうも小説は読み慣れていないので評価が高くなりがちのようです。そのうち下方修正するかも。 × 熱力学で理解する化学反応の仕組み / 平山令明 ★★☆ 傲慢と善良 / 辻村深月 ★☆☆ 現代数理統計学の基礎 / 久保川達也ほか ☆☆☆ 脳波の発見 / 宮内哲 ー 脳の大統一理論 自由エネルギー原理とは何か / 乾敏郎ほか ★★☆ サピエンス全史 / Yuval Noah Harari ☆☆☆ データ可視化学入門 / 江崎貴裕 ★★☆ 1984 / Geroge Orwell ★★☆ 誰が勇…

1/8(月) 今日は13時くらいに起床、昨日寝たのが4時くらいなので9時間くらい寝ていたことになる。なんか頭が痛い。まあ昨日は昼過ぎから図書館に行って、終電まで42にいたので結構自然かなあとも思った。 14時くらいまではだらだらして、シャワーを浴びてコンビニに昼ごはんを買いに行った。一番安い昆布のおにぎりでも140くらいして厳しいなあ、と思った。お腹が空いてたので色々買って750円くらいした。 そこからは今日の24:00が締め切りの生物のレポートをやった。最初はテーマに即さないなあと思っていたけど、細胞の誕生や死滅をシミュレーションするセルオートマトンを作ってなかなかいい出来になった気がする。…

2023/12/31、日曜日。 趣味で数学・統計学の学習に取り組んでいます。 Reviews 赤本7章：多次元の確率分布 同時確率分布と周辺確率分布の考え方 共分散と相関係数 - Cov(X, Y)が負：XとYは負の相関関係がある（Xが大きいとYは小さい傾向） 赤本8章：大数の法則と中心極限定理 前提の考え方 大数の法則 中心極限定理 Plans Reviews 今週は、年始のバタバタでうまくまとまった学習時間がとれませんでした。そんな中でも授業動画をながら見で復習しながら、赤本の7, 8章を読み進めてみました。 7章 多次元の確率分布 8章 大数の法則と中心極限定理 (function(b,…