大数の法則

大数の法則

(サイエンス)
たいすうのほうそく

統計的確率(試行を繰り返して求めた確率)は、真の確率に近づくということ。

確率変数をX、Xの真の期待値をmとする。試行回数nが大きくなると

  • \frac{\sum{X}}{n}がmから遠くに離れる確率は小さい。(大数の弱法則)
  • \frac{\sum{X}}{n}がmに等しい。(大数の強法則)

弱法則と比べて、強法則は「確率」という言葉を使っていない点に注意されたい。強法則は、和をとっているだけである。

なお読み方は「たいすうのほうそく」であり、ある人が「だいすうのほうそく」と読んだ場合は例えば「大学への数学(略して大数)」の読者であった可能性がある。

→統計学関連、中心極限定理

大数の弱法則

  1. 確率変数 X_1, X_2, \dots, X_n は全て独立。
  2. X_1, X_2, \dots, X_n の平均は全て \mu に等しい。
  3. X_1, X_2, \dots, X_n の分散は全て \sigma 以下である。

この時、以下が成立する。
\forall \epsilon > 0, \lim_{n \right \infty} P(|\frac{X_1 + X_2 + \dots + X_n}{n} - \mu| < \epsilon) = 1

大数の強法則

  1. 確率変数 X_1, X_2, \dots, X_n は全て独立。
  2. X_1, X_2, \dots, X_n は全て同一分布に従う。
  3. X_1, X_2, \dots, X_n の平均は全て \mu に等しい。

この時、以下が成立する。
P(\lim_{n \right \infty} \frac{X_1 + X_2 + \dots + X_n}{n} = \mu) = 1

強法則では同一確率分布を前提としているが、弱法則は同一である必要はなく、分散が有界であることのみが必要である。

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