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2016-09-25 晴れ

晴れ

 久々に良い天気の一日だった。午前中は地区の運動会のお手伝い、午後は運動会の慰労会があって一日終わった。結構疲れた。

ファインマン物理学機[漏

ファインマン物理学〈1〉力学

ファインマン物理学〈1〉力学

ファインマン物理学力学

第10章 運動量の保存 メモ

10-1 ニュートンの第3法則

数学的にきちんと解ける問題の数は限られている

数学的には解けなくても、数値的に解けている問題の数はたくさんある

・簡単な問題は数学で解け、かなりむずかしい問題は数値的算術的方法で解ける

が、非常に複雑な問題はどちらの方法でも解けない。


ニュートンの法則からでてくる一般的な定理、原理

 1.エネルギー保存の法則

 2.運動量保存の法則


・第3法則:作用と反作用は等しい

・第1の粒子がある力でおして第2の粒子に力を及ぼしているとすると、第2の

粒子も同じ力で第1の粒子を反対向きにおしている


10-2 運動量の保存

・力とは運動量が時間的に変化する割合であるので、粒子(1)の運動量の時間的

変化の割合は、粒子(2)の運動量の時間的変化の割合の符号を反対にしたもの

   dp1/dt=−dp2/dt


  粒子(1)の運動量と粒子(2)の運動量の和をとれば、互いに及ぼし合う力

(内力)によってそれが変化する割合はゼロであるので

   d(p1+p2)/dt=0


・(p1+p2)という量は変化しない

・p1+p2はm1v1+m2vと書くことができ、これを二つの粒子の全運動量

という


・外界にある物体が内部にある物体に及ぼす力を外力という

・すべての外力の和は、内部にある全粒子の全運動量の変化の割合に等しい


  相互作用を及ぼしあう粒子がたくさんあり、外力がはたらいていないとき、

 その全運動量の保存をあらわす式は

   m1v1+m2v2+m3v3+・・・=一定


  ニュートンの第2法則の一般

   f=d/dt(mv)


 は、おのおのの粒子に対し、任意の方向における力の成分と運動量の成分とに

 対して成立する。一つの粒子にはたらく力のx成分は、その粒子の運動量の変化

 の割合のx成分に等しい

   fx=d/dt(mvx)


 であり、y方向、z方向も同様。


・運動量保存の法則以外にニュートンの第2法則から出てくる大切な原理は、

静止していても、あるいは一直線上を一様な速さで動いていても、物理学の法則

は同じであること

 ⇒相対性原理ガリレオの相対性)


10-4 運動量とエネルギー

・弾性衝突の前と後で速度が等しいのは運動エネルギー保存の問題

・対照的衝突後の物体の反撥速度が互いに等しいのは運動量保存の問題


・非常に単純な物体の間では、衝突はつねに弾性衝突か、それに非常に近いもの

・気体内における原子や分子の衝突は厳密には完全弾性衝突ではないが、たいてい

の目的には気体内の分子の衝突は完全に弾性的であると考えられる。


・質量の等しい二つの物体の弾性衝突で、一方が速度vで運動し、他方は静止して

いる場合、二つの物体は速度を交換するだけ

 ⇒質量の等しい二つの物体が異なる速度で動いて衝突すれば、速度を交換する

   だけ


10-5 相対論的運動量

相対性理論では粒子は質量をもち、運動量は質量と速度の積で、mvで与え

られるが、質量は速度によって変化し、運動量も変化する。

・質量が速度によって変化する関係は

   m=m0/√(1−v^2/c^2)


   m0:静止質量

   c :光速


ニュートンが前提として遠隔作用は、瞬間的にその影響が及ぶことであったが、

実際はそうではない


・1カ所にある電荷が突然運動したとすると、他の点にある他の電荷に及ぼす

影響は、瞬間的にはあらわれない。

・二つの電荷の間の距離をこの影響が伝わるのに時間がかかり、その短時間には

粒子の運動量は保存しない。

・短い時間の間、粒子の運動量mvの他に別の運動量があり、それは電磁場内の

運動量とすると、この場の運動量と粒子の運動量を加えれば運動量は保存する。


・粒子を波動と考えれば、運動量は波数で測られ、波数が大きいほど運動量は

大きい。

・粒子の場合とは違いがあるが、運動量保存の法則は量子力学でも成立する

量子力学ではf=maの法則は成り立たず、ニュートンが運動量保存について

 導き出したことは全部正しくないが、それでも保存の法則はそのまま

生きている)

2016-09-24 平地だけ

lupoGTI2016-09-24

篠ノ井橋⇔大正橋 (40km)









 明日は地区の運動会で、午後はその準備に駆り出されるので、午前中にちょっとだけGIOSで走って、篠ノ井橋と大正橋間を往復した。

f:id:lupoGTI:20160924182045j:image

f:id:lupoGTI:20160924182033j:image


 明日は運動会のお手伝いで、ほぼ一日丸つぶれか...。

 

(走行時間: 1:28, 走行距離:39.5km, 平均速度:26.8km/h,

最高速度:41km/h, 平均ケイデンス:-, 平均心拍:138, 消費カロリー:610kcal,

獲得標高:170m, 16年1月からの累積距離:5762km )


ルートラボへ実走GPSデータ転送


2016年1月からの累積距離(km)

16年1月からの自転車累積距離 km

ファインマン物理学機[漏

ファインマン物理学〈1〉力学

ファインマン物理学〈1〉力学

ファインマン物理学力学

第9章 ニュートン力学法則 メモ

9-1 運動量と力

ニュートンの第二法則

 力の影響によって物体の速度がどう変わるかを求める手段を与える

・運動量と称せらる量が時間的に変化する割合は力に比例する


・運動量と速度は違う

・重さと慣性とは比例し、地球表面では同じ数値をとることが多い


・質量という言葉を使うのは、慣性の大小を量的に表すため


・ある物体の運動量とは、二つのものの積であり、二つものとは質量と速度

   F=d/dt(mv)


  物体の質量は変化しないとすると

   F=mdv/dt=ma


  と書ける(加速度は速度が時間的に変化する割合)


9-2 速さと速度

・速度:向きと大きさをもつ

・速さ:大きさだけで向きは考えない


・短い時間Δtの間に物体がx方向にΔx、y方向にΔy、z方向にΔzの距離

だけ移動すると、Δx、Δy、Δzを3辺とする直方体の対角線に沿ったΔs

という変位になる。

   Δx=vxΔt、Δy=vyΔt、Δz=vzΔt


9-3 速度、加速度、力の成分

・速度の直角成分の数値が与えられれば、速度の大きさも向きも完全にきまる

   vx=dx/dt、vy=dy/dt、vz=dz/dt


  この物体の速さは

   ds/dt=|v|=√(vx^2+vy^2+vz^2)



・速度の向きと大きさが変わる場合

  

・x、y、z成分の変化をみる

・速度のx方向の成分が時間Δtの間に変化するのは、Δvx=axΔtであり、

axは加速度のx成分と称するもの

・x、y、z方向の力の成分は、質量に速度の対応する成分の変化の割合をかけた

ものになる

   Fx=m(dvx/dt)=m(d^2x/dt^2)=max


   Fy=m(dvy/dt)=m(d^2y/dt^2)=may


   Fz=m(dvz/dt)=m(d^2z/dt^2)=maz

・速度や加速度は、その大きさと向きとを一つの線分で表し、それを三つの座標軸

投影してその成分に分けた。

・ある向きに働く力はx、y、z方向の次の成分によってあらわす

   Fx=Fcоs(x、F)、


   Fy=Fcоs(y、F)、


   Fz=Fcоs(z、F)


  Fは力の大きさ、(x、F)はx軸の力の向きとの間の角を表す


・力の各成分の間に何か関係がない限り、x、y、z方向の運動は独立


9-4 力とは何か?

力学に必要なのは力の法則を求めること


地球表面近くでは引力による上下方向の力はその物体の質量に比例していて、

地球の半径Rにくらべて高さが小さいところでは、高さによっても変わらない

・F=GmM/R^2=mgであり、g=GM/R^2は重力加速度


・引力の法則によれば、重さは質量に比例する:力は上下方向であり、質量にg

をかけたもの

・水平方向の運動の速度は一定

ニュートンの第二法則より

   mg=m(d^2x/dt^2)


 であり、x方向の加速度は一定でgに等しい


・重りを吊るしたバネ運動

   −kx=m(dvx/dt)


  k/m=1になったとすると

   dvx/dt=−x


9-5 運動方程式の意味

・任意の時刻tにおいてεが小さいとすればtにおける位置と速度から、時刻

t+εにおける位置を求めることができる

   x(t+ε)=x(t)+εvx(t)


 加速度は−xであるから、

   vx(t+ε)=vx(t)+εax(t)


         =vx(t)−εx(t)

2016-09-23

くもり

 朝の通勤時は細かい雨に降られた。明日、明後日は回復しそうだ。

 来週の5日間のためにやれるだけのことはやった。あとは野となれ山となれ。

2016-09-22

ファインマン物理学機[漏

 せっかくの休みなのに一日中雨だった。読書してゴロゴロして終わり。


ファインマン物理学〈1〉力学

ファインマン物理学〈1〉力学

ファインマン物理学力学

第8章 運動 メモ

8-1 運動の記述

・物体の変化を支配する法則を見出すには、それらの変化を記述し、それを記録

する方法が必要

・観測しやすいのはその位置が時間によってどう変わるかということ⇒運動


・点の運動から考える

・一方向の運動を考える


8-2 スピード

・スピードの求め方:ある非常に短い時間内にどれだけ進むかを求め、それを時間

で割る

・スピードを正確に求めようとすればするほど、時間としていっそう短いものをと

らなくてはならない


微分学>

・微小な距離とそれに対応する微小な時間を考えてその比をつくり、時間を短く

短くしたら、この比がどうなるかをみること

・進んだ距離をそれに要した時間で割って、時間が無限に短くなったときの極限を

求める


  ある短い時間εの間に物体が距離xだけ進むとすると、速度vは次式となる。

   v=x/ε


  εを小さくとればとるほど近似は高くなり、εが小さくなったときの極限が

 速度となる。

   v=lim(ε→0)x/ε


8-3 微分係数としての速さ

・εはΔt、xはΔsで表す

・Δtはtの増分を表し、その値をどんどん小さくできる意味を含んでいる

・Δsも同様の意味をもつ


 速度vはΔs/ΔtでΔtが小さくなった極限に等しい。

   v=lim(Δt→0)Δs/Δt


  運動している物体の距離の変化は、速度と時間間隔をかけあわせたものに

 等しく、Δs=vΔtである。ただし、Δtの間に速度が変化しないときに

 限られ、Δtが0に近づく極限においてのみ正しい。⇒ds=vdt


   v=lim(Δt→0)Δs/Δt=ds/dt


  ds/dtをtに関するsの導関数という。



  s=At^3+Bt+cという関数を考える。

  ΔtをつかってΔsを表すことを考える

   s+Δs=A(t+Δt)^3+B(t+Δt)+C

    =At^3+Bt+C+3At^2Δt+BΔt+3At(Δt)^2+(Δt)^3


 であるが、s=At^3+Bt+cなので


   Δs=3At^2Δt+BΔt+3At(Δt)^2+(Δt)^3


  Δtでわると

   Δs/Δt=3At^2+B+3AtΔt+(Δt)^2


 が得られ、Δtが0に近づくと、Δs/Δtの極限はds/dtなので

   ds/dt=3At^2+B


8-4 積分としての距離

・与えられた速度から距離を求める


・Δs=vΔtの式からそのスピードで行けばどれだけの距離を進んだかがわかる

・全体の距離は小さい距離を全部加えた和になり、s=ΣvΔtである

・全体の距離は、ある時刻i番目の時刻における速度にΔtをかけたものの和

   s=Σ(i)v(ti)Δt


   ti+1=ti+Δt


  時間を短くとるほど和は正確になる。真のsは

   s=lim(Δt→0)Σ(i)v(ti)Δt


  積分記号を使って

   s=∫v(t)dt


8-5 加速度

・速度の変化、速度はどう変わるか?

 ⇒加速度


・加速度はdv/dtと書ける(速度が距離導関数


  一つの物体が静止の状態から一定の加速度gで動くとすると、任意の時刻tに

 おける速度vは

   v=gt


 で与えられ、この時間内に動く距離

   s=gt^2/2


 速度はds/dtであり、加速度は速度を時間について微分したものなので

   a=d/dt(ds/dt)=d^2s/dt^2


・3次元の運動

  速度のx、y、z方向の成分は、

   vx=dx/dt、vy=dy/dt、vz=dz/dt


  Δtの間に動く距離はΔx〜vxΔtであり、縦に動く距離はΔy〜vyΔt

 であり、実際に動いた距離

   Δs〜√((Δx)^2+(Δy)^2)


  この間隔内における速度を求めるにはΔtでわってΔtを0に近づければよい

   v=ds/dt=√((dx/dt)^2+(dy/dt)^2)


     =√(vx^2+vy^2)


  3次元の場合は

   v=√(vx^2+vy^2+vz^2)

2016-09-21 くもり

くもり

 くもりの一日だった。台風がいなくなっても、スッキリ晴れないな。