ある N×N 行列 A があったとき、A と積をとると N×N 単位行列 になる行列 X のことを、A の逆行列と呼ぶ。 全ての N×N 行列に逆行列が存在するわけではない。逆行列が存在する行列の事を特に正則行列と呼ぶ。 一般には行列の積は可換ではないが、正則行列とその逆行列の積は交換しても単位行列になる。
さて、5次の魔方陣世界には、対称魔方陣であり、かつ、完全魔方陣であり、さらに正規相愛魔方陣である魔方陣が全部で4種存在していました。そして、それらにはそれぞれ単位行列変換行列というものが存在しています。
さて、前回、わたしたちは「謎の格子体ミステリアスX」なるものと出会いました。 この分数だらけのいかめしい格子体は、その見かけほどには醜悪ではなく、その証拠に1という数を通してみると、このような美しい紋様が浮かびあがってきます。
今回は5次正規相愛魔方陣にとっては、きわめて重要な格子体をご紹介したいと思います。
3.Dマトリクス さて、応力テンソルについて頭に入ったところで(いや、私もちゃんと分かってるか疑問ですが)、次にひずみの関係式を応力テンソルを使って表します。このときに使うのがDマトリクスという行列です。 まず、引っ張りによるひずみを考えます。 ヤング率の材料にx方向に引っ張り応力が生じたときのx方向のひずみは、フックの法則から、 と表すことができます。このとき、x方向は伸びますが、y方向には縮むという現象が生じます。同様に、z方向に伸びたときにも、y方向は縮みます。このときの縮み量は、ポアソン比を使って、 と表すことができます。 つまり、x方向のひずみは、引っ張り応力による伸びと、y方向及び…
数値計算で逆行列の計算を避けましょうというのはもはや常識と思います.例えば,givenの行列AとBについて,C = inv(A) * B を計算したいときは,左除算演算子\を使って using LinearAlgebra C = A \ B とした方が速いです.実際に using BenchmarkTools n = 6000 A = rand(n,n) B = rand(n,n) @btime inv($A) * $B # 3.458 s (8 allocations: 552.29 MiB) @btime $A \ $B # 2.206 s (6 allocations: 552.29 M…
教科書の「不等流計算」は理解できるが、実務で汎用される「準二次元不等流計算」がなかなか理解し難い方に向けて、記事を書きました。 多分相当わかりやすいと思いますので、河川行政に関わる方やコンサルの方に読んで頂きたいです。 全4回の第4回目です。 第1回:河川技術者向け基礎講座 準二次元不等流計算1/4:不等流計算の基礎 - 趣味で計算流砂水理 Computational Sediment Hydraulics for Fun Learning 第2回:河川技術者向け基礎講座 準二次元不等流計算2/4:一般断面の不等流計算 - 趣味で計算流砂水理 Computational Sediment Hy…
ClippingPlaneCollectionにmodelMatrixを設定したらカメラの移動に伴って切断面がゆらぐ現象が発生したため、modelMatrixを使わないで何とかしたというお話です。 ClippingPlaneCollectionの座標系とmodelMatrix CesiumではClippingPlaneCollectionを使ってtileset等のオブジェクトをクリップする(指定平面より外側の描画を無効にすることでオブジェクトを切断したような見栄えにする)ことができます。 クリップ平面は対象となるオブジェクトのローカル座標系で指定する必要があります。つまり、平面の法線を(0, …
恥ずかしいんだけど 3 次方程式のカルダノの公式の説明読んで、あまりしっくり来ないんだよな 方程式の係数からできる式は解の対称式でなければならないはずで、個々の解にたどりつくためには係数から決まらない何かを導入しているはずで、その辺がポイントなのかなhttps://twitter.com/yamyam_topo/status/1780989795797504354 補助方程式u³+v³=p, uv=qの解の選び方のコンベンションじゃないかな…(実際にはu,vの入れ替えと3乗根の選び方で2×3=6通りの選び方があるので)https://twitter.com/recorderPS/status/…
今朝タイムラインを眺めていたら、久しぶりに行列の話を目にした。 僕が高校生の頃、数学には行列と呼ばれる分野があった。 逆行列だの固有値だの固有ベクトルだの回転だの、ひたすら懐かしい。 卒業以来顔を合わせていなかった同級生に会うようなものだ。 しかも相手は全く変わらないままで。 大学入学後も工学部の授業で使われた内容だったが、現在は高校で学習しない。 今の高校では複素数平面という学習があるが、あれは僕が高校生の頃はなかった。 数学のような学習でさえ、時代によって変化がある。 自分が高校生の頃は〜という昔話は通用しない。 だから僕は、ちゃんと複素数平面の話も講師を始めてから学習した。 それはそれと…
概要 回転座標系では、遠心力とコリオリ力という慣性力が現れることが知られています。これを導出していきます。 準備 慣性系として $xy$ 軸をとり、座標を $x(t), \ y(t)$ とします。それに対し、正の方向 (反時計回り) に $\theta(t)$ 回転している回転座標系 $XY$ を取り、座標を $X(t), \ Y(t)$ とします。 以下、時刻 $t$ の関数 $f(t)$ に対して、$t$ の微分 $ \mathrm{d}f(t) / \mathrm{d}t = \dot{f}(t)$ と書くことにします。$(t)$ は適宜省略します。 導出 $2$ つの座標系の関係は以下…
本日はシェーダー枠です。 CGを理解するにあたって重要な概念である行列についての勉強です。 コンピュータ内では多くのデータをテンソルであらわします。 テンソルとは、多次元配列を意味し、例えば画像データを見てみると、RGBAの四次元であらわされる色チャンネルの集まり(ピクセル)が縦横の配列に並んで一つの画像が構成されています。 このように多次元の配列をテンソルと呼びます。 テンソルの中で0次元配列をスカラー、1次元配列をベクトル、2次元配列を行列と呼びます。 redhologerbera.hatenablog.com コンピュータグラフィックスでは座標変換で多く行列が用いられており以前は回転行列…
本日はグラフィック枠です。 現在レイトレーシングにいてアルゴリズム面を中心に学んでいます、 1979年に登場したレイトレーシングは現実の物理学的な光の動きの逆のプロセスをコンピュータ内で計算することでコンピュータグラフィックスの処理として反射、屈折、散乱といったレンダリング処理をリアルに計算できるようになりました。 レイトレーシング自体はピクセルごとにレイを放ち、オブジェクトとの交差点を判定し、さらにその座標からレイを飛ばし、最終的に光源までそれを行い、各衝突の過程において、光や物体の挙動についての結果を用いてレンダリングを行っています。 現時点まででカメラ座標の定義、レイとオブジェクトの交差…
ランキング参加中数学ランキング参加中数学・科学・工学 (1) 競プロの問題として (2) 数学の問題として: 形式的冪級数 *1 (もう少し dp に寄せた方法) (3) 数学の問題として: 行列 2024/04/10 (3) を追記しました。 次の問題を考えてみましょう。$1$ 以上 $5N$ 以下の整数の集合 $ \{1, 2, \cdots, 5N\} $ から$0$個以上の整数を選ぶ方法は$2^{5N}$ 通りある。このうち、以下の条件を満たす方法は何通りあるか。条件: 選んだ整数の集合の要素の和は $5$ で割り切れる。(ただし空集合の要素の和は $0$ と定める) (1) 競プロの…
アフィン変換とホモグラフィ変換とは? アフィン変換について ホモグラフィ変換 (射影変換) について ホモグラフィ変換の特殊解を解析的に解く Pythonによる実装例 参考 アフィン変換とホモグラフィ変換とは? アフィン変換:正方形を任意の平行四辺形に写せる (台形など任意の四角形には写せない) ホモグラフィ変換:正方形を任意の四角形に写せる アフィン変換について 3×3の行列で表現できる (実質は2×2の行列と2次の列ベクトルで6変数) 拡大縮小、平行移動、回転、せん断(スキュー) からなる 拡大縮小は対角行列 平行移動は単位行列と列ベクトル 回転は回転行列 せん断は単位三角行列 (x軸方向…
本日はShader枠(どちらかというと)です。 本日は論文などを読みながらレイトレーシングについての理解を深めながら書置きの記事になります。 〇レイトレーシングとは? レイトレーシングはコンピュータグラフィックスのレンダリング技術の一つで、非常にリアルな3DCGの描画を行うことができます。 従来では不可能であった屈折、反射などをシミュレートすることができます。 例えば次の例では画像から見て宝石の下の方で面による屈折を確認することができます。 また、透過する光もサブサーフェーススキャッチィング(内部透過光)が考慮されており、青い影が落ちています。 非常に高精細な表現ができる反面非常に計算コストが…
解決できたので記録。 問題 前提として excel version:Microsoft Office Home and Business 2016 OS:Windows である。 行列演算はMMULT関数やMINVERSE関数を入力し、ctrl+shift+enterを押せばできると検索するとあった。 早速Excelを立ち上げ、B4:C5に対して次のように入力した。 B C 4 -1 2 5 3 -4 入力した行列の逆行列を求めるために別のセル(C7)に次のように入力し、ctrl+shift+enterを押した。=MINVERSE(B4:C5)すると、次のような結果がC7に表示された。 C 7…
非線形最小二乗問題を解く上で、 1次近似を使う最急降下法 2次近似を使うニュートン法 ニュートン法のヘッセ行列をヤコビ行列の積で近似するガウスニュートン法 ガウスニュートン法と最急降下法を上手く混ぜるLevenberg-Marquardt法 と整理できて、これらを実装してみる。 サンプルの関数としてお馴染みのRosenbrock functionを使う。 (1, 1)のところに極小値が存在する。 これに対してPyhtonで各種最適化手法を実装した。Line Searchなどは使わず、Levenberg-Marquardt法でもλの混合具合の調整などはせず、かなりシンプルに関係を把握する目的のコ…
今日は昨日から数学試験対策をした。おそくまで眠れなかった。 基本的な微積分だったが、3変数ラプラシアンの計算を焦ってできなかった。 あと量が多い。 1-1 合成関数の微分 1-2 ラプラシアンの計算 おそらく極座標で楽になる 1-3 サイズ3の逆行列 1-4 固有値と固有ベクトル 1-5 確率 2-1 極限 区分求積 2-2 数列の和 3-1 互いに独立な確率変数 [0,1]一様分布 a b cとしたときの 二次方程式が実数解を持つ確率空間の体積設定をして重積分 3-2 確率漸化式 変遷型 偶奇で分ける 4-1 (時間足りず 朧げ) n個のサイコロを投げて1がk個出る確率変数Xを設定 4-2 …
ちょっと新たな試みで、数学の小ネタの雑談コーナーをはじめるよ!急にどうした!?この前、とらじろーさんのブログ を読んで触発されたので……。僕も数学の楽しさを再発見できたらなーと思ったのでした。なるほど。そんなわけで今日は、行列の固有値・対角化について、まったり話そうと思うよー。
前回のあらすじ 境界曲線の特徴 2次のテイラー展開の数値計算 楕円の方程式とテイラー展開の関係 シミュレーションの結果を心眼でみる まとめ 前回のあらすじ 前回では「スクラッチカードシミュレーション」の結果を分析し、条件を満たす領域の境界を抜き出す作業を数値的に行なった。その結果、滑らかな曲線とおぼしき境界線が出てきた。これがどんな方程式によって作り出されているのか、今回は数値的に求めてみたい。 境界曲線の特徴 パッとみた感じは、$x=0$の頂点を持つ放物線のように見える。しかし、$(x,y)=(1,1)$の近傍で傾きが無限大、つまり垂直な直線が曲線の接線になっているように見えるので、これは放…