代数学

こんにちは. ぱいです. このあいだむぐむぐ勉強会で部分環の定義について雑談をして, 楽しかったです. そこで, 今日の記事のテーマは, 部分環の定義です. ※なお, この記事では, 環は必ず単位元を持つものとします. ※可換性は特に気にしません. 早速ですが, 部分環の定義を述べます. 部分環の定義 を環とし, を の部分集合とする. が の 部分環 であるとは, 次の条件 (1), (2) が両方とも成り立つときをいう. (1) は と同じ演算で環となる. (2) の単位元を とおけば, となる. 数学を勉強している人の中には, 「この (2) の条件は一体なんやねん！」とモヤモヤしている…

置き換え（おきかえ）は、ある物事や要素を他の物事や要素で代替することを指します。一つの要素を別の要素で取り替えることによって、元の要素の役割や機能を新しい要素が果たすようになります。 置き換えは、さまざまな文脈で使用されます。例えば、数学や代数学では、方程式や式の中で変数を置き換えることがあります。これによって、より単純な形や解析的な解が得られる場合があります。 また、コンピュータ科学やプログラミングでは、文字列や変数の値を別の文字列や値で置き換えることがあります。これによって、プログラムの処理や表示を変更することができます。 さらに、一般的な意味では、置き換えは何かを他のもので代替する行為を…

こんにちは. ぱいです. 今日は, 群論について下記の問題を解説します. (2023/2/12 追記. 不備があったため, 条件 (4) の表現を差し替えました.) 問題 を群として, 下記の条件 (1) ～ (4) を考えます. (1) は有限群となる. (2) のどんな真部分群も有限群となる. (3) のどんな元の位数も有限となる. (4) の生成元として, 位数が有限な元の組を取ることができる. このとき, 明らかに下記の (ア) ～ (ウ) が成り立ちます. (ア) (1) ⇒ (2) (イ) (2) ⇒ (3) (ウ) (3) ⇒ (4)では, (ア) ～ (ウ) の逆はそれぞれ成り…

次のような問題を考えましょう： 問題：$0 有理数となるような$a,b$を全て求めよ。（こちらで見かけたのがきっかけです： cos(rπ)∈ℚとなるr∈ℚについて | Mathlog） 解法 リンク先では高校数学の範疇で難しい議論をしていますが、この問題は代数学を使えば比較的簡単に示せます：$\alpha=\cos(a\pi/b)$としましょう。ここで$n=b (2\mid a), 2b (2\nmid a)$とすれば$\zeta_n=\exp(a\pi i/b)$は$1$の原始$n$乗根で（$\mathbb{Q}$上の）次数*1は$\varphi(n)$です。よって$2\alpha=\zet…

第1章 整数 第1節 基本的な性質 定理1.1 () とする．このとき (∧-除去) に対して である． (証明) を仮定し を示す． (仮定1) (∨-導入) (仮定2) (∨-除去，仮定2落ち) (ⅰ) (ⅱ) ここで，同一性規則(等号の性質)より(ⅰ),(ⅱ)は健全である．それゆえ，∧-導入より (∃-導入，∃-除去，仮定1落ち) を得る．▢

前書き 物理の課題（例えば幾何光学など）について研究するときには、 みたいな式が現れる場合があります。関数電卓で数値解を容易に得られますが、その値が一つの逆三角関数で表せるかどうかがすごく気になっていました。 目次 前書き 目次 逆三角関数の基本的概念 定義域と値域 逆三角関数の加法*1 導出 結論 逆三角関数の相互関係 導出 結論 逆三角関数の基本的概念 定義域と値域 逆関数の定義がいつくもありますが、ここでは全単射な関数が逆関数を持つという定義を使います。三角関数は全単射ではないので、全単射である区間を取って（定義域の部分集合への制限とも呼ばれ）その逆関数を定義できます。 関数 定義域 値…

どうも、Nagiです。 本当に恥ずかしい話ですが、ここ最近、「線形代数」の勉強を始めました。 そこで線形代数と代数学を学ぶ順番について思うところがあったので、記事にしました。 工学部の線形代数 僕は機械系（工学部）出身です。 工学部で学ぶ線形代数は、というと主語が大きいですが、少なくとも僕が授業で習った線形代数は「計算」でした。 「行列式を求めよ」、「固有値・固有ベクトルを求めよ」など、計算すれば単位がもらえます。 実際、授業も計算のやり方を教えるといった感じでした。 指定された教科書もそんな感じでした。 正直、全然楽しくなかったです。 ちゃんとした？線形代数 学部の頃はそんな線形代数だったの…

本日の勤務は6：50–16：45。 出勤後に本日の授業（４つ）の予習をし，来週の授業の一部について配付資料を印刷したところで講義室に移動（8：30）。１，２時限目に授業し，昼休みにそのまま会議に出席（12：15）。会議後，居室に戻って慌ただしく昼食をとり，メール対応と来週の授業の配付資料印刷の続きを進める（13：00）。その後，再び講義室に移動し，３，４時限目に授業する（16：40）。 本日の授業。 生物統計学：前回の中間テスト解説，回帰分析 線形代数学入門：固有値，固有ベクトルの復習と演習，小テスト 微分積分学入門：不定積分の復習と演習，小テスト データ分析演習：Rによる統計解析演習（その…

関孝和すげえという話をします。 【算聖】関 孝和【新助、自由亭】 先月、上野健爾、小川束、小林龍彦、佐藤賢一 による『関孝和全集』が岩波書店から出版されました：岩波書店のページ。 最近はこの本を勉強しているのですが、すこぶる面白いです。 私は元々「関・ベルヌーイ数」という数学的対象がものすごく好きです。これは「ベルヌーイ数」と呼ばれることの方が多いですが、ヤコブ・ベルヌーイとは独立に関孝和も発見しているという話だけをとっても、私が関孝和のことを好きになることに不思議はありません*1。なお、関・ベルヌーイ数が書かれているのは、遺著『括要算法』*2です*3。 実際は関・ベルヌーイ数の発見だけではな…

本日の勤務は6：50–16：15。 朝一で授業予習，学内委員会にかかる資料読みを済ませる。 本日の授業。 生物統計学：相関分析，中間テスト 線形代数学入門：逆行列の演習板書（続き），連立一次方程式の解法（掃き出し法，逆行列による解法，クラメールの公式） 午後から， 線形代数学入門の小テストと生物統計学の中間テストを採点し，その後，学内委員会にかかる資料作成を始める。

こんにちは、ドジソンです。 普段は『その場で勉強できる』を意識して大学数学記事を書いている者です。 参考：即解決！大学数学まとめ 上サイトは、読者の皆様のおかげもあって、多くの人に見てもらえるまで成長しました。 それはさておき。 今回は初学者向けにおすすめの線形代数の参考書を紹介していきます。 お得情報（Prime Student）の解説もしていますので、是非最後まで見てください。 ※お知らせ※次の線形代数の記事ができました（再掲するので後で見てもOKです）。 ここで紹介している本より難易度高めのものとなっています。 【厳選4冊】（院試対策にも！）レベルの高い線形代数の参考書（教科書） 初学者…

こんにちはドジソンです。 今回は大学二年から四年の間に読んでおきたい洋書（数学）を紹介します。 高校生から大学一年の方は下の記事からどうぞ。 dodgson.hatenablog.com 解析 位相 複素解析 幾何学 代数 測度・ルベーグ積分 確率論 フーリエ解析 関数解析 おすすめ大学数学参考書まとめ 解析 (function(b,c,f,g,a,d,e){b.MoshimoAffiliateObject=a;b[a]=b[a]||function(){arguments.currentScript=c.currentScript||c.scripts[c.scripts.length-2]…

日記をつけることにした。 大学生になってもう半年が過ぎた。せっかく浪人して大学に入ったが自堕落な日々が続いてしまっている。このままでは後悔しそうだ。 その解決策の一つとして日記をつけることにした。白状するとバイトが薄給なので小遣い稼ぎがしたいからというのもある。 一日をその終わりにふりかえることで、今日の自分がいかに何もしていないかを知ることができ、そうして明日は一つでも多くのことをなしえようと思えるに違いない。もちろん僕は怠惰で飽き性なので日記も付けなくなってしまうかもしれないが、そうなってない今はあまり悲観的にならないことにする。 ただ、今回は続きそうな気もする。夏の間、僕は一日一個創作物…

本日の授業。 生物統計学：カテゴリカルデータ分析（母比率の信頼区間の推定，独立性の検定，小テスト） 線形代数学入門：逆行列（演習と板書，解説） 微分積分学入門：森林科学で使われる微分（成長量），マクローリン展開，小テスト データ分析演習：Rを用いた演習（母平均に関する両側検定，母平均に関する片側検定とウィルコクソンの符号付き順位検定，母平均の信頼区間推定，母平均の差の両側検定とマンーホイットニーのU検定） 次々とメールが届く一方で，学内外の諸行無常に対応すべく各種メールを送信しまくったので，授業以外の時間帯も慌ただしいまま，6：40–17：35の勤務を終える。 今夜には，メール対応の続きを済…

自分の考え方を書こうと思う。 というのも、生きていく上で考えること・実行することがほぼ全てなんだけど、考え方という概念は広範すぎて、それを言及したりまとめられることは少ない。一方で明らかなアンチパターンはあるという構造化・体系化できる特徴を持っている。 基本的に実学におけるプラクティスには完全な解は無く（ベストプラクティスという言葉かなり限られた条件でしか考えられていない）、理論は一部の現象しか解明しておらず、 自分の中で知識と気づきと体験からナレッジを形式化することが必要となってくると感じているので、考え方を言語として残そうと思う。 まとめ まとまんないけど、現象とその背後の構造を考えるのが…

現在２０２３年１１月８日１９時４７分である。（この投稿は、ほぼ２４３８文字）麻友「太郎さん。古いもの使うの、上手ね」私「何のことだい？」麻友「ヒューレットパッカードのパソコンのキーボード、壊れたと言いながら、６年前に買った、ロジクールのキーボードで、澄ました顔で、ブログ打っている。太郎さんに取って、ブログが書ければ、それで、良いのよね」私「それは、私の心臓に、ぐさりと刺さる言葉だぞ」若菜「ブログが書ければ、それでいい。確かに、お父さんは、お母さんに会える日を、ひたすら願いながら、このブログを、書いているのに」結弦「この『１から始める数学』のブログまで、再生させている。このブログの役目は、お父さ…

本日の授業。 生物統計学：分散分析，多重比較，小テスト（母平均の差の検定） 線形代数学入門：行列式の基本性質・余因子展開に関する演習（板書と解説），小テスト（行列式の余因子展開） 微分積分学入門：ライプニッツの定理に関する授業と演習（板書と解説） データ分析演習：次年度以降の授業に関する聞き取り，ビッグデータとデータエンジニアリング 卒業研究：卒研面談（１名） データ分析演習については，次年度以降，内容と授業方法を抜本的に変える必要があるため，今年度の受講生に次年度の授業計画案を提示し，授業時の留意点について助言をしてもらった。大変ありがたい。

教員構成も 少しずつ変化しているので，諸行無常ということで，今後（来年度あるいは再来年度以降）の授業のあり方（予想）にかかり，備忘録として整理しておく。 基礎数学入門（１年前期，14回担当）：おそらく担当から撤退 生物統計学（１年後期，10回担当）：おそらくクラスサイズ増 線形代数学入門（１年後期，14回担当）：おそらくクラスサイズ増 微分積分学入門（１年後期，14回担当）：おそらくクラスサイズ増 森林計測学（２年前期，11回担当）：おそらく内容削減 技術者倫理入門（２年後期，14回担当）：おそらく内容拡充 海外・日本の林業（３年前期，6回担当）：おそらく内容削減 森林計測学実習（３年前期，1…

現在２０２３年１１月１日２１時０６分である。（この投稿は、ほぼ２３９６文字）麻友「太郎さん。若菜が、話があるそうよ」私「どうしたの？」若菜「もう、かなり前の、『数Ⅲ方式ガロアの理論（その４１）』で、 ＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊ 私「若菜、なぜ、 の３乗根 を、知っていたか、説明して？」若菜「あー、つまり、方程式 ですよね。 を移項して、で、と、因数分解できる。後ろの２次式の根を、２次方程式の一般解で、求めると、なんだけど、ルートの中が、マイナスだから、中学校では、この方程式は、解けません。と習う。でも、高校へ行くと、 として、これを、虚数単位と言い、と言うよ…