数論

ファレイ数列は数学マニアにとっては宝剣のようなものです。 五番目のファレイ数列は {0, 1/5, 1/4, 1/3, 2/5, 1/2, 3/5, 2/3, 3/4, 4/5, 1} となります。 生成ロジックはシンプルなので、説明はWikiにお任せします。 ja.wikipedia.org そこはかとない疑問から始まります。 F1 {0, 1}, F2 {0, 1/2, 1}, F3 {0, 1/3, 1/2, 2/3, 1}, F4 {0, 1/4, 1/3, 1/2, 2/3, 3/4, 1}, F5 {0, 1/5, 1/4, 1/3, 2/5, 1/2, 3/5, 2/3, 3/4…

群論（抽象代数）の勉強をしているとき、ある証明の一部で次式が使われているのが気になったので計算してみました。 ｎ以下の自然数組み合わせでゼロ以外の差分のすべての積と言い表されるのです。 ｎが15まででの計算結果であります。 1, -1, -4, 144, 82944, -1194393600, -619173642240000, 15728001190723584000000, 25569049282962188245401600000000, -3366980847587422591723894776791040000000000, -4433704164188294764915602259…

先月（２０２４年1０月）に最大の素数の記録が更新されたけれど、それは常連様のメルセンヌ素数でした。 ５２個あるメルセンヌ素数Mpの系列はWikiにも記載されています。 ja.wikipedia.org Mp=2^p-1でMpが素数となるｐに注目しましょう。このｐは素数でなければならないことは判明しています。でも。素数だからといって、Mpが素数になるとは限りません。 ｐの系列を転記しましょう。Mリストと呼びましょう。 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, 89, 107, 127, 521, 607, 1279, 2203, 2281, 3217, 4253, 4423…

≪１≫ ひとつの平方数を、２個の平方数に分解できるものは､､､いっぱいある。 ３2 + 42 =52 とか ５2 + 122 =132 とか これは、ご存知三平方の定理。（登場数値が３ケ。三平方の３の意味を、中学生には説明したほうがよい） では立方数は２つの立方数に分解できるってなケースはあるんやろか？立方数の表をながめると、 ５3 + ６3 =７3 ･･･あまり２、惜しい ６3 + ８3 =９3 ･･･あまり１、惜しい2 う～～ん、なかなかありそうにない。４乗数の分解は？５乗数では？・・・ 【10/10追記】 「あまり２」とかは「−２」のほうが「あまり」っぽいimageでした～。 見城、佐野…

まだ小学生の頃に習ったことで印象に残っているのは３の倍数の確認方法でした。各桁を足した数が３の倍数ならば元の数も３の倍数、というアレです。 倍数とか約数とかがLean4で扱えるようになり、この３の倍数の確認方法の証明を書き下してみようと思いました。自分で定理を形式化して証明を与えることを一通りやるには良いのではないかと思ったのです。 任意桁数の３の倍数で証明しようとすると、その数の10進数展開がk桁あるとして各桁を$a_n$とすると$\sum_{n=0}^{k-1} a_n\,10^n$と表すことができるところから始める必要があります。まだ$\sum$記号を勉強していないこともあり、えいやで３…

Mathematics in Lean 4で進めてきているLean4の勉強も第4章となり、初等整数論が扱えるところまで来ました。 最初の節では$\sqrt{2}$が無理数であることを示します。とはいってもこの段階で示すことは$\sqrt{2}$が有理数であるとして矛盾を導くことまでです。$\sqrt{2}$が実数の中に存在することまで示すわけではありません。 証明は古代ギリシャから知られているものです。$\sqrt{2}=\frac{m}{n}$となる互いに素な自然数$m,n$が存在するとします。すると $$m^2=2\,n^2$$ です。ここから$m$が偶数であることがわかります。$m=2\…

近代数学の3つのエポックメーキングな発想と発見は、解析幾何と確率論、それに数論ということになろう。 まさに17世紀の天才の世紀の創造力の結晶である。 そして、これらは、いずれも同時代のフランスの3人によって、為されたというのは、数学史上の奇遇と奇跡あるいは奇瑞というべきではないだろうか？ 3人とはデカルト、パスカル、フェルマーだけれども、ほぼ踵を接して生きたのだ。 デカルトは座標系と代数を結びつけることで、それまでのユークリッド幾何学の伝統に新たな対抗的な伝統を創始した。 やや若いパスカルとフェルマーは、古代数学にはまったく存在しなかった「確率」を 賭け事から拾い出した。パスカルは、幾何学では…