数論

Dirichlet L関数についての簡単な性質を紹介し関数等式を証明します。 Dirichlet L関数は算術級数の素数定理の証明にも用いられる非常に重要な複素関数のクラスです。 参考文献 Dirichlet L関数の定義と性質 Euler積表示 関数等式の証明に必要な補題 Dirichlet L関数の関数等式 一般化されたRiemann予想 おわりに (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({}); 参考文献(1)素数とゼータ関数 (共立講座 数学の輝き) (function(b,c,f,g,a,d,e){b.MoshimoAffiliat…

”リーマン予想と２０世紀の代数幾何学”という章がすごく良かった。数論と幾何学が結びついていくというのが非常によくわかる。またグロタンディクが代数幾何学の大変革としてやろうとしていたことのモチベーションが数論に適用できる幾何学の建設であったことがよくわかる。 他には”整数を「素数全体の空間の上の正則関数」のように感じる”など数の世界と関数の世界の類似がおもしろい。 私は学生の頃はグロタンディクは驚異的な数学者として認知しており数千ページある代数幾何の本を書いている恐ろしい数学者という印象しかなかった。またそうした印象もあり代数幾何は恐ろしい分野と敬遠していた。こうした本を当時読むことができれば、…

定義 を可換環、をのイデアル、を可換な乗法群（単元を1とする）、を準同型とする。 を含むの真のイデアルに対して、がを法として1と合同な元からなるの部分群の上で自明でない（つまり、が存在して、 となる） ※下記の参考書籍では、代数体上の整数環について記述されていますが、とりあえず定義および幾つかの性質を導く上では、一般の可換環、群上で問題ないと考えたので、上記のような定義としました。 同値な言い換え を含むの真のイデアルに対して、はでwell-definedにならない。つまり、ある元が存在して、、となる。 参考 楕円曲線と保型形式 p87を参照しました。 www.amazon.co.jp

Dirichlet指標についてのまとめノートです。結構詳しく書けてると思うのでDirichlet指標について勉強していたら参考にしてみてください。 参考文献 Dirichlet 指標の定義 基本的な性質 準周期性と導手 原始指標の特徴付け Dirichlet指標の積分解と導手 おわりに (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({}); 参考文献(1) Multiplicative Number Theory (Graduate Texts in Mathematics 74) (function(b,c,f,g,a,d,e){b.Moshim…

問題です！6を三つ自然数の積で表す方法はいくつあるでしょうか？(積の順番も考慮してください)正解は \begin{align*} 6=&1\cdot 1 \cdot 6,\; 1\cdot 2 \cdot 3,\; 1 \cdot 3 \cdot 2 \\ &1\cdot 6 \cdot 1, \; 2 \cdot 1 \cdot 3, \; 2 \cdot 3 \cdot 1 \\ & 3 \cdot 1 \cdot 2, \; 3 \cdot 2 \cdot 1,\; 6\cdot 1 \cdot 1 \end{align*}の9通りでした！合ってましたか？ということで今回は自然数 を 個…

から への写像を一般に数論的関数と呼びます。今回は数論的関数に対するDirichletの畳み込み積というものを紹介します。 Dirichletの畳み込み積はゼータ関数の理論や篩法の理論などでよく見かけます。 定義と性質 畳み込み積と乗法性 応用 まとめ (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({}); 定義と性質Dirichletの畳み込み積の定義を見てみましょう。定義(Dirichletの畳み込み積)に対し \begin{align} a \ast b (n) :=\sum_{lm=n}a(l)b(m) \end{align}とし、これをD…

4月3日付で京都大学(RIMS)教授の望月先生の書かれたABC予想についての論文が数学の専門雑誌「PRIMES」に掲載されるとの報道がありました。www.nikkei.com望月先生、おめでとうございます! 興味深いニュースでしたが私自身はあまりABC予想について詳しいことを知らなかったので、このニュースを機にABC予想について勉強してまとめてみました。 参考文献 ABC予想は整数論のお話です ABC予想 ABC予想とFermatの最終定理 ふとした疑問 おわりに (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({}); 参考文献(1) ABC予想入…

04/05(月) 午前9時半起床。 二度寝するべきだとは思っていたが、寝落ちする前に読んでいたノクターンノベルズの続きを読み始めてしまい、そのまま止まらなかった。正午、読了。 https://novel18.syosetu.com/n7640gf/ 主人公とハーレムメンバーのバランスのとり方とか、主人公の優しさが良さげに描かれていて良かった。 そのまま他の作品を漁って、2つ読んだ。こちらは完全にエロに振り切っていてストーリーなどないようなものなので、特に感想もない。題名も書かないので気になる人はリンク先（R18サイト）に飛んでほしい。 https://novel18.syosetu.com/n…

年末ぐらいからNetflixにはまり、けっこうドラマを観ちゃっている。 まずは、「クイーンズ・ギャンビット」。これはすごかった。あまりに傑作だった。なんと、全7話を三巡も観てしまった(笑)。 物語は、親を失い、施設で暮らす女の子が、施設の清掃員のおじさんにチェスを教わり、チェスの天才へと成長していく、というもの。たぶん、現実に世界チャンピオンになったボビー・フィッシャーを女子に置き換えたんだと思うのだけど、シナリオがあまりによくできている。チェスの詳しい内容には踏み込まず、その代わり、アメリカ社会のいろいろな側面を投入した、みごとな青春ストーリーになっている。 そして、最近観たのは、実写版「ア…

今年もしこしこやっていきましょうかねえ。 取り敢えず、例年通り演習問題の解答を作っていこうと思っているのですが、演習問題は去年と大体同じになるっぽいんで、先ずは去年のページ(２０２０春学期代数Ⅰ演習問題略解。)を参照しておきます。 後は、講義で使われる教科書(堀田先生の代数入門)は、数学的にはとても良い本で、読めるのならこれを読んでおけば良いのですが、恐らく初学者にはまあまあ難しい気がするので、代替本を幾つか紹介しておきます： ・中島匠一先生「数論と代数の基礎」共立出版。 俺が初めて読んだ代数の本です。定義導入の動機付け、定義や定理の使用上の注意、証明の記述、どれを取ってもかなり丁寧です。(数…

3月の下旬からこの本を読み始め、大体半分程度読み終わりました。代数の基礎を確認しながら、忘れていたら身に付けようと思ってこの本を選びました。 この本の著者のまえがきによると、 予備知識がなくても読めるように、なるべく一から説明することを心がけた 具体的な例をたくさん挙げるように心がけた なぜそのような定義をするのか、その定理・命題はどこにありがたみがあるのかを説明することを心がけた 定理や命題の主張はなるべく簡潔にしかも正確に述べることを心がけた とある通り、説明を読んでいる時に、これは何を根拠にしているのだろうかと、悩むことはほとんどありませんでした。また、たくさんの例が紹介してあるというの…

数論をいろいろまとめる。 代数的数、超越数 数には自然数、整数、有理数、実数、複素数などのクラス分けがある。代数的数とは、何らかの代数方程式の解となる数。それ以外の複素数を超越数という。ここでの代数方程式は全て有理数とする。代数学の基本定理とは、n次方程式はn個の解が存在する。代数的数は、四則演算について閉じている、つまり体となる。体Kの係数を持つ代数方程式の解がK内にあるとき、Kを代数的閉体と言う。代数的数のなす体は有理数を含む最小の代数的閉体である。 ここで超越数について考える。 教材はこちら。 http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~ooura/pi_trn.p…

哲学(演習) ／科学哲学（演習）シラバス 論理学1（講義）（前期 火5）（矢田部俊介） 哲学(演習) （哲学専修 5141001） 科学哲学科学史（演習） （科学史科学哲学 8241005） 授業開始：4月13日（火） 本授業は教務掛での分類でいうところの「対面授業が実施できない科目」に相当し、 本授業はオンライン（PandAのZoom機能）で行います。 授業資料は、PandAの授業サイトより配布します。各自、授業前にダウンロードして目を通してください。 当日の授業は PandA のZoom機能を使います（今大流行のインターネットWeb会議システムです）。 Zoomへの参加は、PandAのペー…

国名がつく数学用語っていくつかあって、「日本の定理」とか「ポーランド空間」とかあって面白いんですが、なかでも中国剰余定理というのは特に有名です。 で、こいつが数論ではまぁ〜非常によく登場する重要な定理なんですね。 そのステートメントは例えばwikipediaにはこんなふうに書かれています。 与えられた k 個の整数 がどの二つも互いに素ならば、任意に与えられる整数 に対し …を満たす整数がを法として一意的に存在する。 はい。うん。ね。いやもちろんこれで分かる人にはいいんですが。 中国剰余定理の拡張や応用には色々と面白い話題があって、ググったりなんかすると百花繚乱といろんな話題が出てきます。しか…

UTPC2020運営のidsigmaです。今回は問題に直接かかわることは少なかったですが、一応仕切り役をやっていました。適当に感想を書きます。 経緯 なんかのいみがやりたいと言い出す 乗り気になってメンバーを集める 今は亡きUtCoderでコンテストをやろうとしていたメンバーに声をかける 足りないと思ったのでwriterを追加で募集する、あまりやりたくないがレートで制限をかけないと集まり過ぎると思ったのでしょうがなくレートで制限をかける 集まる 原案募集開始 作問作業開始まで 僕は簡単枠だけ投げて仕切りに徹しようと思い投げるつもりがなかった 期待通りみんな投げてくれる なんか全体的に難しくない…

少し遅れましたが？（明後日にまたエントリー記事を書きますが），先週分です．先週は「京都量子暗号ワークショップ」を聴講しました． 最後の同種写像暗号がやはり印象に残っているというか，あぁやっぱ面白そうだなと思える分野ですね．個人的には数論色強めの暗号（楕円曲線暗号とかElgamal暗号とか）にかなり興味があるので，時間があれば勉強したいですね． というか，院からのセミナーが輪読ではなく，自分で勉強したことの発表らしいので，それを口実に耐量子暗号は実装含めて諸々押さえておきたいです． 今週は現在進行形で「量子情報春の学校」に参加しています． 明日からが興味のあるところのメインなので，非常に楽しみで…

最新号【算太・数子の算数教室】２０２１年３月号（通算１５１号）【う山先生】 □──────────────────□ 【う山ＴＶ】 【算数合格トラの巻】 【算太・数子の算数教室】(R) □──────────────────□ □ (o^-')b 【算太・数子の算数教室】（Ｒ）の最新号、 ２０２１年・令和３年・３月号（通算１５１号）は、 （テーマ）【算数クエスト・２０２１】です☆ □ ◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇ □ ・計算の森 ＜妖精エルフ＞ ・数論の塔 ＜バンニーン伯爵＞ ・速さの道 ＜速さ仙人＞ ・図形山 ＜弁財天＞ ・比の海 ＜人魚姫マーメイド＞ ・場合の島 ＜ハッタリ半蔵…

数学は役に立たない 大昔から数学は役に立っていない。それはギリシア人がエジプトに行って農業ではなく、そこから幾何学を見いだした。ギリシア人がつくった数学は役に立たない。 子供がやるとなぜか褒める（正しい反応だけど）大人が、なぜか勉強が役に立つのかという議論してしまう。基準が曖昧である。 togetter.com 数学は役に立ちません。 一部が役に立つことがあります。暗号で素数が、AIで行列が事後的に役に立ちました。 また、役に立たせるには相手も数学を学んでいる必要がある。特に論理学。 大学入試問題で語る数論の世界―素数、完全数からゼータ関数まで (ブルーバックス) 作者:清水 健一 発売日: …

私は今年は（も）数学を学びたい。今興味があるのは数論、代数。4元数とか面白そうだなと思う。相対性理論にも興味がある。 なぜか数学や物理って、世間一般では敬遠されやすい。なんで、、、 特に数学は覚えることも少ないし、紙とペンさえあればいつでもどこでもできるし。 確かに本格的に学ぶとなると専門書が必要になるけれど、今の時代は様々な大学の講義資料PDFが無料で手に入る。YouTubeもたくさんあがっている。そこから入ってみて、面白そうだな、もっと知りたいな、となったら本を買えばよい。 数学や物理が嫌いな人に、是非見てほしいYouTube、興味を持ったら見てほしい本をまとめておく。 目次 初級編 中級…