数論

自然数の逆数の小数点表現に対する剰余（バイナリ）適用を実験してみた。まさに実験数学の実践でありますな。 具体的な例によって説明しよう。 23の逆数を小数点以下を計算する。 1/23＝0.04347826086956521739130434782609..... 循環することは見て取れる。ここでは無視して、各位の数字の２の剰余を計算する。 0 . 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 1 0 0 1 0..... これが目標のバイナリ小数点表現であります。 ここから（実験数学的な）問題設定です。 「異なる自然数のバイナリ小数点表現が同じになるケースが…

最近、素数に興味がありいろいろと数論の本を読んだりしている。 私は数学専攻の学生だったが、学生時代はあまり素数に興味はなかった。それよりもリーマン面といった幾何学的対象に興味があった。 数論への興味のきっかけの１つは、加藤和也先生や黒川先生の素晴らしい本である。 tantan777.hatenablog.com tantan777.hatenablog.com もう一つは、算数好き小3次男である。算数がすきで、暇なときに、よく問題を出して、といってくる。一緒に数遊びをしていると、私も数、特に素数に対する興味が湧いてくる。次男はルート、などの数学記号も大好きで、ルート169はなんだ、といった問題…

最近、なぜか数論に興味がありいろいろと読んでいる。 この本はすごく良かった。 数学の本は定理・証明の専門書か、非常に簡単な入門書になりがちだが、この本はその中間というか、適度に証明を交えながら具体例豊富にまず全体的なイメージを喚起されるように書かれており、非常に良かった。読者が理解できるように非常に真剣に考えられて書かれており、こうした数学書はなかなか無いと思う。内容も類体論、ゼータ関数、楕円曲線と数論の多岐にわたり数論の魅力を堪能できる。 類体論はなかなか敷居が高くまだまだ全然理解不十分だが、いろいろなところに非常にわかりやすい解説がありそれらを読みつつこうした本を読むと理解が進む。 tsu…

ガウスの同時代人であった女性数学者ソフィー・ジェルマンはフェルマーの大定理に 関する意義ある定理で、数学史に名を残した。 このお堅い大数学者は、当初、ソフィーを男性とみなしていたが（男性名で文通していた）、後で女性と知って舌を巻いたそうな。ガウスも一目置く存在だったという。 ja.wikipedia.org ソフィー・ジェルマン素数とは素数ｐがあり、2p+1も、また、同時に素数であれば、指数ｐのフェルマーの大定理が成立するという見事な結果だ。p=2は除く。 その証明はさておき、「ソフィー・ジェルマン素数が無限に存在する」という予想は「双子素数が無限にある」と並んで、困難な問題とされている。 暇…

加藤和也 数論への招待 www.maruzen-publishing.co.jp 定理1 120°整数三角形の120°の対辺は，3で割って1余る素数の積． Ex. (7, 5, 3), (91, 80, 19) 定理2 90°整数三角形の90°の対辺は，4で割って1余る素数の積． Ex. (3, 4, 5), (33, 56, 65) 定理3 4で割って1余る素数は，整数の二乗和で書ける． Ex. 13 = 2^2 + 3^2, 53 = 2^2+ 7^2 90°整数三角形と複素数 4で割って1余る素数について，定理3より，整数を用いて， とかけるから，は複素数平面上で に対応する点（の絶対値…

初等整数論で出てくるオイラーのφ関数は、１からn-1までで自然数ｎと共通約数がない数の個数を示す。φは重要な役割を整数論で担うことがより進んだ理論（有限体など）で判明する。暗号論では必須の整数論的関数だったりもする。 ここでは実験数学での気ままなお遊びであると理解していただきたい。 まず、φの動作確認から。 素数pなら、φ(p)=p-1となるわけであります。 φ(6)=2 なぜなら、1,5だけが6と共通約数がない。 これを繰り返し適用したら、どうなるであろうか？ φ(φ(6))＝1 φ(φ(φ(φ(φ(72)))))＝1 というように、いくつか計算してみると最後には１になるようだ。 巨大なメル…

この数は2組の3乗数の和で２通りに表示できる最小の数だ。もちろん、それだけで有名になるはずもなく、G.H.ハーディが残してくれたエピソードに拠るところが大だと思う。 「ラマヌジャンには特異な数についての超人的な能力があった。．．．．．彼が入院している時に見舞いにいった。その時につかったタクシーのナンバーが1729だったので、どうでもいい数だと彼に話すと『それは面白い数だよ。2組の3乗数の和で２通りに表示できる最小の数だ』．．．」 そこでハーディは「４乗和でこうものを知っているかと聞くと、．．．わからないが途轍もなく大きい数だろうと答えた」と続く。 これで一躍、1729は数のなかのスターになった…

mermaid.initialize({startOnLoad: true}); こんばんは． 今回は超久しぶりに代数幾何の話です． 代数幾何は応用を理解するのが難しい分野だと思っているのですが（数論への応用を理解しようとすると，膨大な予備知識が必要になります），符号理論への応用があるらしいことを知りました． 符号理論は全く知りませんが，おそらく情報系の分野でしょう．それなら比較的少ない予備知識で理解できる可能性があります． そこで，代数幾何符号について調べてみます． 検索してキーワードを洗い出す まずは検索です．代数幾何符号は英語で algebraic geometry code なので，こ…

「講談社のオールジャンル大特価セール 498円均一」ポイント還元も合わせた価格になっている。小説ライトノベル漫画などのセール。 白泉社 俺様男子の極上の誘惑…♪ 「いちゃLaLa」Vol．4配信フェア 20％OFF ７月７日 まで 白泉社「イシャコイ【i】」 最新刊フェア 50％OFF ７月７日 まで 【夏電書2022】講談社のオールジャンル大特価セール 498円均一 ７月１４日 まで KADOKAWAラノベ一気読み！ ビーンズ ビーズログ2022 50％OFF ７月７日 まで KADOKAWA 男子ラノベキャンペーン 最大30％OFF ７月７日 まで KADOKAWA プランダラ完結記念 長…

tanは数論的には暴れん坊風でしたが、グラフの曲線美としては一級品と感じれます。特に0.5から1あたりなどは。 前に指数関数で「特殊点」をひらってみましたが、同様にtan上でもひらってみましょう。 赤○：となりのtanまでの最短の位置、ｘ＝0.59251…【A332526】 紫星：原点からの弧長が1となる位置、ｘ＝0.67677…【A336002】 青□：グラフの曲率が最大となる位置、ｘ＝0.69370…【A332527】 （【 】内は、関係するOEIS番号です） 見た目の曲線美に加え、魅力的な特殊点を、しかも近い位置で内包している､､､やはり美ですなーぁ。 一般に、「数学の美」とかいわれます…

目が覚めて眠れない。 2時に目が覚めた。 朝。 9時再起動。 ハッキリしない曇り。突然ゲリラ豪雨食らってもおかしくない。 ヒキコ大好きな僕のことだ、無理矢理にでも外に出ないと、クーラーをガンガン効かせ、NHKFMをBGMに、本とスナック菓子とコーヒーで至福の一日を費やしてしまいかねない。 午前中。 そんな訳で散歩ついでの、大学町古本屋歩き。学府の知のおこぼれをゴチになる。 某ブックオフ、220円落ちラインアップが豪華にも程がある。 大学時代の知り合いに、視界に入る橋の型式を解説付きで言い当てる建築学科のやつとか、数論語りながら顔真っ赤になってエクスタシィする数学科のやつとか、淡水魚と触れ合いた…

競プロにおいて分割数は を 個の非負整数の和で表す方法の数 (ただし, 順番は区別しない) であり, 計算量オーダーが である dp が(蟻本などに載っており)有名である しかし, 一般に数論の世界で分割数というと を自然数の和で表す方法 であり, である これは同じ dp をすると かかってしまうが, である場合に限りより高速な方法がある まず, の母関数を考える を何個使うか, を何個使うか.... ということを考えると, と書くことができる と表せるため, として, の母関数を求めることができた できたが, 求めるのが簡単にはなっていない ここで, 右辺の逆数である について考えてみる …

何ゆえか、数学者には禿げを見かけることは少ない。偉大な数学者にはいない。 それを偉大な数学者の画像で確認しよう。 やはり信頼できる肖像画や写真が残る近代以降に限られる。 天才の世紀ともいわれた17世紀、デカルトとパスカルから始めよう。 デカルトの肖像画はどうも扱いが難しい。なぜなら、この時代の特徴としてシラミ対策のかつら（ズラ）を着用しているようなのである。 やや後輩にあたるパスカルはどうか。これはどうやら地毛であり、禿げてはいない。 もっとも40台で若死にしているので禿げる直前だったという反論はありうるだろう。 ライプニッツの肖像はズラなので割愛しよう。かの偉大なニュートンも同様だ。 オイラ…

はじめに 英語の電子書籍を重視する 大学のカリキュラムを参考にしない 達成感をこまめに得られるようにする構成 ○○回生向けという表現をなくす はじめに いつも「大学数学の文献案内」の記事を読んでくださりありがとうございます． この記事ですが，追記訂正を繰り返すうちに文字数が膨れ上がり，今や4万5000字に迫ろうかという量になっております． さすがに重すぎて編集が大変になってきたので，このたび分割して書き直すことにします． 新しいカテゴリ「数学の歩き方」に投稿していくので，よかったら読んでください． 予約投稿している都合上，投稿が始まるのは７月からになりますが，お待ちいただければと思います． 基…

問題 前回の記事で、予想を立てた。 sky-time-math.hatenablog.jp これをの場合に証明できたので*1、この記事で以下に書く。 となることの証明 両辺を二乗して、 よって、はの倍数。 また、 となるが存在するので、ヤコビ記号の相互法則(第２補充法則)より、 は偶数または、と表される*2。 (1)の場合、 となるが、 である。また、ある自然数が存在して、 従って、は8の倍数である。 ここで、とおくと、 となり、なので、でなければならず、これよりが得られて、前提に矛盾する。 (2)が偶数の場合、 とおくと、 ここで、なので、 しかありえない。 従って、 ① ② ③ のいずれか…

臨界現象とは 臨界現象については、以下の文献で簡潔にまとめられている。 dl.ndl.go.jp 特に、臨界現象とは、 ①「物質が相転移を起こす際に様々な熱力学関数が特異性を示す」 ②「異なった系での臨界現象が共通の臨界指数を持つという普遍性」 という2点が面白いと言及されている。 くりこみ群と臨界指数 モデル計算と組み合わせにより、数値計算で臨界指数を見積もることが可能である。特に、アンダーソン転移では臨界指数が有効数字3~4桁程度まで求められている*1。 ここで使われるテクニックは、物理量を有限系で計算して、有限サイズスケーリングと呼ばれるくりこみ群の手法を用いて、臨界指数を見積もることで…

JPSJに投稿した論文が以下の理由でrejectされました 掲載拒否理由は、今回ちゃんと説明してくれたので、（ひどく誤解されてはいるが）まだ前回よりはマシかなというお気持ち。********************************Manuscript Number: 70573Section: Full PapersTitle: A method for studying the Anderson transition in the orthogonal symmetry class employing a random walk expansion, the statistics o…

こんにちは、mmです。やっと今週、苦しんでいた科目のテストが終わったので、数学をやっていくことができます。今回は、具体的なやることと、木曜日にテストが終わったので、金曜や土曜日にやったことの紹介です。 ・やったこと 金曜と土曜日なので、大したことはしていませんが、一応。 ・線型代数入門の読み直しや演習問題の解き残しを解いていました。演習問題の解答についてはいつかpdfにでもまとめてみようかなとか考えています。ただ、p72の11が思うようにいっていません。 ・雪江先生の代数学1「群論入門」を読み始めました。この本自体は、高二の時に買っていて、少々読んでいましたが、その時よりも読みやすくなっていま…