数論

今はなきマーチン・ガードナーによれば、完全立方体は未解決の数論問題のなかでも悪名が高いそうであります。問題自体は簡単そうだけれどもレオンハルト・オイラー以来、大きな進歩がないという意味でしょう。解は見つかっていないけれど、非存在であるという証明もないのであります。 この問題は直方体において、３つの各辺とその対角線３本、ならびに向かい合う頂点の対角線１本がいずれも有理数（自然数）の組み合わせはあるかというもの。 a, b, c, d, e, f, gがいずれも自然数であるような直方体を示せということ。 よって、三平方の定理が成り立つ。 すなわち、４組の平方和の式を満たす7つの自然数を出せというデ…

コラッツ予想については風変わりでアマチュアにも楽しめるので、何度か議論計算している。 今回は負数のコラッツ予想の拡大とその応用としての平面ビジュアルを探索したので、お伝えする。 コラッツ予想の振り返りから、 すべて自然数ｎについて、下記操作の反復は「１」に回帰する。 １）ｎが偶数なら、n/2 とする ２）ｎが奇数なら、(3n+1)/2 とする 例、８１から開始。 81, 122, 61, 92, 46, 23, 35, 53, 80, 40, 20, 10, 5, 8, 4, 2, 1 なんていうか、いかにもコンピュータ時代の実験数学の香りがプンプンしている。 これを負の整数でも成り立つようし…

≪１≫ いまはむかし、 ならX=√２=1.41421 356… に対抗すべく の解は何だろうと、８ケタ電卓のケタ数が動かなくなるまで、手動でまさぐっておった時代がありました。いまの時代なら、パソコンをカチャカチャっとすれば、ｘ＝1.55961･･･が登場してきます。 便利な時代の青少年のみなさんに、この解法を公開しておきましょう。 ≪２≫ ｘのｘ乗は2階建て。では3階建て、4階建て、･･･も考えられる。そうこうしていると、奇妙な現象に行き当たったので、リポートしておきます。 上記の何階建てかっていうのは、数学記号の巨大数分野では「↑↑」（上向き矢印が２個）で表すようで、上向き矢印１ヶはｘ・ｘ・…

自然数の逆数の小数点表現に対する剰余（バイナリ）適用を実験してみた。まさに実験数学の実践でありますな。 具体的な例によって説明しよう。 23の逆数を小数点以下を計算する。 1/23＝0.04347826086956521739130434782609..... 循環することは見て取れる。ここでは無視して、各位の数字の２の剰余を計算する。 0 . 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 1 0 0 1 0..... これが目標のバイナリ小数点表現であります。 ここから（実験数学的な）問題設定です。 「異なる自然数のバイナリ小数点表現が同じになるケースが…

最近、なぜか数論に興味がありいろいろと読んでいる。 この本はすごく良かった。 数学の本は定理・証明の専門書か、非常に簡単な入門書になりがちだが、この本はその中間というか、適度に証明を交えながら具体例豊富にまず全体的なイメージを喚起されるように書かれており、非常に良かった。読者が理解できるように非常に真剣に考えられて書かれており、こうした数学書はなかなか無いと思う。内容も類体論、ゼータ関数、楕円曲線と数論の多岐にわたり数論の魅力を堪能できる。 類体論はなかなか敷居が高くまだまだ全然理解不十分だが、いろいろなところに非常にわかりやすい解説がありそれらを読みつつこうした本を読むと理解が進む。 tsu…

ガウスの同時代人であった女性数学者ソフィー・ジェルマンはフェルマーの大定理に 関する意義ある定理で、数学史に名を残した。 このお堅い大数学者は、当初、ソフィーを男性とみなしていたが（男性名で文通していた）、後で女性と知って舌を巻いたそうな。ガウスも一目置く存在だったという。 ja.wikipedia.org ソフィー・ジェルマン素数とは素数ｐがあり、2p+1も、また、同時に素数であれば、指数ｐのフェルマーの大定理が成立するという見事な結果だ。p=2は除く。 その証明はさておき、「ソフィー・ジェルマン素数が無限に存在する」という予想は「双子素数が無限にある」と並んで、困難な問題とされている。 暇…

素数における未解決な予想としてはマイナーなギルブレイスの予想とは、素数列に対して特殊な階差数列を並べたときの出現するパターンに関するものだ。 特殊な、とは階差が負になったら正にするという操作が入ることだ。パターンは下図をみればおわかりになるであろう。ピラミッド型で表現しておく。 先頭の数字が「１」になることだ。 この数列の直前には素数の列があったのは言うまでもない。つまり、第一列は階差になっている。 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 10…

かすがい現象否定説の文献起訴状では侵入罪＋Ａ罪が牽連犯とされ、訴因変更で、侵入罪とＢ罪が牽連犯ということで追加されることがあります。そういう場合には、訴因変更の違法を主張すれば、請求を受けない事件について判決をした違法（刑訴法378条３号 最二小判昭和33年2月21日刑集12巻2号288頁*1)になる可能性があります。 控訴理由第※ 法令適用の誤り・訴訟手続の法令違反～住居侵入罪をかすがいとするかすがい現象は違法である 120 1 かすがい現象 120 ２ 法文解釈 122 ３ かすがい現象に批判的な学説 126 正田満三郎刑法体系総論p339 126 中谷 裁判例コンメンタール刑法１巻 12…

サークルの先輩が実に日記をつけていて良いなと思ったので今日から日記をつける. 過去に日記三日坊主経験もあり性格上長続きしない気がするがとりあえず続くところまで. 2023/5/18 (木) 8:30頃起床. ゴミ出しを済ませたり布団で本を読んだり朝ごはんを食べたりをし, オンライン講義の2限を受けるためPCに向かう. しかし, 勘違いをしており講義は1限であり, 既に終了していた. 出席等の概念は無いし, 講義ノートや動画が後からGCにあがるので被害は軽微. その後はセミナー発表の確認をした後昼頃に青葉山へ. 昼食に豚野菜炒め丼を食した後, 原稿の確認をしていたらより簡潔な証明ができる場所を見…

第13回では、前回の議論、科学の発見の積み重ねという縦の矢印、それに対をなすもう一方の縦の矢印である、コンピュータ上に築かれた我々の世代の技術社会が、互いにフィードバックするような関係で発展をして来たこと。それら縦の間をつなぐ横軸、ヨコ串の一つとして、計算複雑性理論におけるP≠NP予想を考えたこと。これらを受けて、その他にヨコ串となり得るものを考えていきたい。 先ず、前12回のNP問題のクラスでは、Non-deterministic非決定性アルゴリズムであった。非決定論的な選択を許す。乱数利用の選択は、ここでは対象にしないことにする―次の項目にするので―と、人間に入力を要求して、その指示に従う…

昔受けたコーディング試験で公約数を求める試験を出された気がする。 それが解けなくて足切りされた苦い思い出。 もし仮にこの方法を知ってたら通過できたのかなとかぼんやり思いながら学んだ。 1. Please explain Euclidean algorithm in a way that even elementary school students can understand. 2. What is the time complexity of this algorithm? Euclidean algorithm 3. Please visually explain Euclidean a…

それぞれ長さであるような配列に対して、といった形の演算を畳み込みと呼び、多項式の乗算の実装等に使えます。 で、そのライブラリのverify用の問題がyosupo judgeにあります(https://judge.yosupo.jp/problem/convolution_mod)。私はRust使いなのですが、ちょっと前まではRustの最速コード(私ではないです)は150msec以上かかっていたような記憶があります。C++最速のコード(全体の最速コードでもあります)は50msec弱くらいですので、だいぶ遅いです。 一応RustはCやC++並みのパフォーマンスを出せると謳われているのにこれはちょっ…

久々にお題にも参加してみようかな。今週のお題は「何して遊ぶ？」です。 前にもお話ししたとおり、学生時代、広島市中央図書館に毎週末のように通い詰めていて、書架の「368」から「380」へとずんずん横滑りしていた頃のことなんですけど、たまには気分転換をしようと思って、全然違う書架を覗いたりすることもあったんですね。 sister-akiho.hatenablog.com 当時も今も、私は「数学」が大の苦手で（国語にしか興味なかったんだもん）、数式を見ると頭が痛くなるタイプの人間だったんですね。ところがその日、たまたま見つけたのが「すうじであそぼう」みたいな感じの古い子ども向けの本で、パラパラっとめ…

今回はいきなり第２補充則の証明から行きます。前回の記事 では第２補充則において$\sqrt{2}^p$の指数の$p$が変化するとそれに伴って平方剰余記号の値$\left(\frac{2}{p}\right)$が周期$8$で変化することを観察しました。 今回は山本先生の数論入門 (現代数学への入門)で紹介されている証明を見ていきます。ここでは$\sqrt{2}$を有限体$F_{p^2}$の中の$1$の原始$8$乗根の適当な和で表しています。これを$p$乗すると和の$p$乗は$p$乗の和を使い、$\sqrt{2}^p$を$1$の$8$乗根の$p$乗の適当な和で表すことができます。 これが周期$8$…

自分で読み返すことができるような文章を書こうと最近緩やかに決意しているように思う. ある意味ではそれは時間に対して vertical なコミュニケーションを成立させる前提であって - コミュニケーションのよくある仕草として, 発信する側と受け取る側のあいだのズレを双方向的に修正しようとする動きがあるわけだが, そういうことを自分もやっていくことが, 結局のところ, 要求されるように思う. 少なくとも素朴には. 最近 blog をなにも更新していなかったことを思い出して, とりあえず書いてみている - あと以前の記事を読んだりしているが, なにかと腹が立つような文章で - あるいは鼻にかけたよう…

私にとっては二冊目の書籍となる『せいすうたん１』がもうすぐ発売予定です。こちらは漫画家の小林銅蟲氏との共著です*1。176ページ、税込みで1980円です。内容：整数たちが冒険する漫画本。www.amazon.co.jpこれは販促記事です。日本評論社が刊行している雑誌『数学セミナー』の2020年4月号〜2021年3月号において、小林銅蟲先生の漫画『せいすうたん』が連載されていました。『数学セミナー』で漫画が連載されたのは初めてのことであり、私はその漫画で扱う数学的内容の監修者でした。さて、『数学セミナー』における数学に関する連載はその後、数学書としてしばしば単行本化されます。また、漫画雑誌で連載…

目次 目次 前書き 本一覧(1〜100冊目) 更新履歴 おまけ 前書き こんにちは、愛計です。 最近、大学図書館の本を全て見るというチャレンジをし始めました。 また、春休みブログ書こうかなと思っていましたが、一件も書けませんでした(悲しい) 今まで書いてきた記事の文字数がかなり多かったので、新しい記事を書くことを考えると、気が重かったわけです。 そして、今僕は思いました。 「もっと気軽にブログを書こう」と。 ということで、一限目が始まるまで少し時間があるのでブログ書き始めました。(随時更新) 内容は 大学図書館で見かけた読みたい本一覧です。(単なるメモでは)

年度末に茨木の研究集会行こうとしたけど研究費の執行終わってていけんかった 悲しい あと去年かいた論文が出版された arxivにあげたあたりでもう興味が完全に失せてたからそれ以降の事務作業ほんとうっとかった これでようやく解放されたか 2年ぶりに筋トレ再開した 前回体重7，8㎏くらい？増やせて、さぼり続けて3，4㎏くらい減って今に至ってる こっからさらに8㎏くらいふやしてえな 体組成計も買って記録ばっちり あとはかりを買った ほんっとうに人生が捗りまくってる 炊いた米とかハンバーグの種とかコーヒー淹れるときのお湯とか、全てを完璧に量って完璧な分量で生活できる 本当に捗る 今まで計量全部目分量だっ…