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完全無欠で荒唐無稽な夢 このページをアンテナに追加 RSSフィード Twitter

2018-06-17

EulerによるEuler定数のイントロ EulerによるEuler定数のイントロを含むブックマーク EulerによるEuler定数のイントロのブックマークコメント

 かのレオンハルト・オイラーの全集は、完成まではまだまだ遠い、とかいう噂をだいぶ前に聞いた。

この数学者にまつわる定理、公式、計算の数は膨大だけれども、やはりオイラーの定数は一番、気になる神秘的な数である。

 彼の研究でオイラーの定数の最初の姿の一つは下式である。

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ゼータ関数の和の極限値としてγ(オイラーの定数)は降臨したのだ。

 試しにこれを数値計算してみると最初の2000項で「0.57746560240154067310...」となり、オイラーの定数に肉薄しているのが検証できた。

 お節介好きな数追い人として上記の対になる下式の極限を調べてみたくなる。

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 だが、この場合にも関数和は収束がやたら遅い。

 最初の30000項で「10.30896932721836650155157319557223458723...」となるのであるけれど、これでも小数点一桁ですら固定できていないようだ。

 まだまだ、増えるのだがそれでも有限な極限値はあると思われる。

 数論エクスプローラーとしては、γと対をなす数というだけで、興味しんしんではなかろうか?

そして、πのような既知の定数と関連付けてみたくなる。


【参考資料】

 またまたこの本に裨益されてしもうた。

オイラーの定数ガンマ ―γで旅する数学の世界―

オイラーの定数ガンマ ―γで旅する数学の世界―

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2018-06-16

二重級数和の答えは? 二重級数和の答えは?を含むブックマーク 二重級数和の答えは?のブックマークコメント

 次の階乗が含まれる二重級数の和の極限値を考えよう。

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 この数値は「4.194528049465325113615213730287504...」となる。

実はネピア数(自然対数の底)を使い簡単な結果に等しいことがわかってる。

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 これを導出できるか、というのが問題。

答えは数日中に下に書き記す予定です。もちろん、初等的なやり方です。

mumomumo 2018/06/18 21:22 1/j! 部分が e となり、残りが cosh(x) の Maclaurin 級数展開となるのですね。わたしの実力では、答えが天下り的に与えられていなければ cosh に気づけなかったことでしょう、きっと。

Hyperion64Hyperion64 2018/06/19 05:02 そうです。的を得てます。

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