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完全無欠で荒唐無稽な夢 このページをアンテナに追加 RSSフィード Twitter

2017-03-26

君は知るや 君は知るやを含むブックマーク 君は知るやのブックマークコメント

    君よ知るや 南の国

    木々は実り 花は咲ける

 とはゲーテの小説のミニヨンの歌の出だし。ドイツの文豪の小説を手に取ったのははるか昔だ。20世紀のことだなあ。

 重ねて言えば、下式の形状を君は知るや?

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θは実数で0から2πまで動く時、この実部と虚部の織りなす形状を君は知るや?

 かく言う自分も今夜、はじめてお目にかかることとなった。

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 やや歪んでるので冴えないのだが円の眷属というべき閉曲線でありましょう。

媒介変数で書き下しておく。

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この面積はベッセル関数(第1種変形ベッセル関数)と円周率で表現できるのも言い添えておきます。

  π BesselI(1,2)

ほぼ「4.99713」になる模様だ。円よりはメタボな閉曲線なのだ。

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2017-03-22 昨夜の続きをオイラーの式で

昨夜の続きをオイラーの式で 昨夜の続きをオイラーの式でを含むブックマーク 昨夜の続きをオイラーの式でのブックマークコメント

 級数展開でどのように収束するかをオイラーの式に適用してみた。

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これは−1となる。それを昨夜のごとく、ガウス平面で追跡してみるだけであります。

 新規性はないが教育的ではありましょう。

上式を級数展開に書き下す。

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 以下、これをn=1から順次、和を計算してやり、−1への道行きをガウス平面上にプロットするだけであります。

 n=15までの軌跡を示しておく。

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 意外といえば意外にも直角に曲がりながら「−1」に急速に接近する。これは各項が虚数のk乗となっているので当たり前といえば当たり前であります。

 上図の点列の連結線の長さの総和は収束する。

 なので、数理マニアとしてはその和がどうなるかを計算してみると良いであろう。これもシンプルな数値になるであろう。


 こちらのケースも図示しておこないと手落ちとなろう。大回りしながら「1」に激しく収束します。

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級数展開でいうと下式であります。

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 ある意味、このケースのほうがダイナミックであります。これも経路の長さの和は単純な数式で表せますね。

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 参考書としては今はこのロングセラーを上げておこう。

オイラーの贈物―人類の至宝eiπ=-1を学ぶ

オイラーの贈物―人類の至宝eiπ=-1を学ぶ

 

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