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完全無欠で荒唐無稽な夢 このページをアンテナに追加 RSSフィード Twitter

2018-08-12 夏休みの多項式分解宿題

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 これも夏休みの頭のほぐし計算ですね。

4乗の多項式で、a+b+c+d=0 のときの因数分解の一例です(ラマヌジャンがやってる計算を参考にしてます)

f:id:Hyperion64:20180812085037g:image

 言い換えると上記の左辺は負になることはないわけですね。それなりに興味深い因数分解ではないでしょうかね。

 ちなみに5項の5乗和での類似例はいろいろトライしてみましたが、複雑で面白みにかけます。

せいぜいが、a+b+c+d+e=0 のもとで下式が成立するくらいでしょう。

f:id:Hyperion64:20180812125219g:image

 この厄介さは、五次方程式に根号解がないとの関係しているんでしょうかね。



アンチョコ的補足】

 基本対称式を使えば、比較的容易にこうした因数分解は探せます。多分ラマヌジャンも頭のなかでそうしたのでしょう。

 そのやり方のステップを示します。

1)最初の多項式を設定します。同次多項式で対称式であることが重要です。

2)次に基本対称式に分解します。対称式は基本対称式に分解できるわけです。

  ここのところが計算量と手腕が必要です。

3)基本対称式の一つ、例えば a+b+c=0 にすれば元の式が単純なものになるかを試行錯誤します。


【参考資料】

 代数学の教科書などに基本事項はあります。コックスの本のような事例が豊富な教科書が面白いですね。「ガロア理論」と銘打ってますが代数学のおさらいを含んでます。

ガロワ理論〈上〉

ガロワ理論〈上〉

ガロワ理論(下)

ガロワ理論(下)

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2018-08-11

ゼータの差分の極限 ゼータの差分の極限を含むブックマーク ゼータの差分の極限のブックマークコメント

 ゼータの手慰み数値計算例。

f:id:Hyperion64:20180811092431g:image

nをデカくしてゆくと1/2になるようだ。

n=1から10までの計算値


0,

0.270354128109065648735223893955, 0.379137119716442610893954559272, 0.431423872526950877199313988223, 0.459225198451968744286958300904, 0.474985934483968448556614416074, 0.484316840774500545116703453557, 0.490012395604502542611158744099, 0.493566569764355695933218297403, 0.495820808637217315234484482211

グラフ化しておく。

f:id:Hyperion64:20180811092804j:image

 それにしてもζ(3)のような奇数のゼータの値の正体がもっと判明にならないものだろうか?

ζ(1)がオイラーの定数と関連しており、そのオイラーの定数が無数の数学者の攻略を阻んでいるのを見聞きすると、やはり難しいのでしょうが。

hogehoge 2018/08/11 11:09 nが十分大きいので、
ζ(n) ≒ 1 + 1/2^n
とすると、与式が得られます。

Hyperion64Hyperion64 2018/08/12 04:54 明快な説明ですね。二階以上の差分の極限などにも有効でしょうね。

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