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完全無欠で荒唐無稽な夢 このページをアンテナに追加 RSSフィード Twitter

2017-10-22 自然数の最小素因数と自然数の平方根の対比

自然数の最小素因数と自然数平方根の対比 自然数の最小素因数と自然数の平方根の対比を含むブックマーク 自然数の最小素因数と自然数の平方根の対比のブックマークコメント

 素数判定の純朴なやり方は自然数平方根に近い数まで、順番に割り切れるかどうかを計算してゆく方法だ。

 ところで、自然数の素因数の最小値と自然数平方根に近い数はどんな関係にあるのだろうか?

 60は2の二乗、と3と5に素因数分解される。2が最小の素因数だ。60の平方根に近い自然数は7だ。するとnに対して下のような関係になりそうな気がする。

   nの平方根に近い自然数>nの最小の素因数

 しかし、49では両者ともに7になるので、次の関係になろう。

  nの平方根に近い自然数=nの最小の素因数

 「nの平方根に近い自然数」は「nの最小の素因数」以上になるわけだ。言うまでもなく、「nの平方根に近い自然数」はnの平方根ガウス記号を適用するといい。

 そういうわけで、まとめて計算結果(N=100万まで)を出してしまうとしよう。

縦軸が「最小の素因数」である。対数表示だ。

横軸が「nの平方根に近い自然数」である。

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 最上部の滑らかな曲線に群がっているのは素数ばかりだ。下に重なって沈澱しているのは素因数分解されてしまった分解可能な数の「地層」だ。

 では、素数だけの「曲線」と下の「地層」の曲線を表す近似式は何であろうか?

ここに属するのは、平方数でない場合で最小約数のなかでも大きい素因数を含む層なのでありますが。


 少年が主人公の物語りは数多かれど、素数がカウンターパートというのは少年の人生の幸先は良くない、だろう。リベンボイムくらいの素数学者になれば別だろうけれど。

 

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2017-10-04 円の連続描画の一手法

円の連続描画の一手法 円の連続描画の一手法を含むブックマーク 円の連続描画の一手法のブックマークコメント

 木村俊一の『連分数のふしぎ』(ブルーバックス)には人目を引く円の可視化パターンが載っている。それにinspireされたわけでもないが、ちと複素平面で同じような試みをしてみた(やはりinspireされたのだろうけど)

 複素数列Znを中心とする円を描くのだが、お互いの円は接するように工夫するのが違いだ。円の半径はrnとしている(下図参照)


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 複素数列Znをとりあえず等比級数的な表式に制約しておこう。γは定数である。

mは自然数で固定である。nが0からmまで動けば、円の中心列が一回転するという意味だ。

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 rnについてはこのような漸化式が得られる。円の接触条件である。

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この組み合わせでは、rnは解析解が得られる。

それはともかく、どのようなパターンが得られるかを示しておこう。

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 結局、偏角の差分に対して距離の変化が少ないのでこんな内向きの接触円の列になってしまうようだ。

 円の半径=1で固定して接触条件をはずせば、参考文献のような円のパターンとなる。あるいは指数の肩にある偏角を等差数列でなくせばイイかもね。

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【参考文献】

連分数のふしぎ (ブルーバックス)

連分数のふしぎ (ブルーバックス)

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