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完全無欠で荒唐無稽な夢 このページをアンテナに追加 RSSフィード Twitter

2017-05-27 アルベロスの三次元化

アルベロスの三次元化 アルベロスの三次元化を含むブックマーク アルベロスの三次元化のブックマークコメント

 アルキメデス幾何学的な手すさびであった「アルベロス」。これについては日本でも成書が出て、数学ファンには奥行きの深さが定着した。

 ここではその手すさびにもう一つ手垢をつけよう。

一般にはアルベロスは下のような4円の関係となる。右側の宙に浮いた小さな円が後で追加されることになる。

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 x軸上の中心を置く、3円を考える。外側の円は原点に中心がある半径b+cの大きな円、それとx軸上に中心がある半径bと半径cの小さな円二つがあり、それらはx軸上で外接する。大きな円に二つの円は内接している。

 この時、第4の円が存在し、それらは小さな円に外接し、大きな円に内接する。その中心の座標と半径を示しておこう。

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 自分のオマケは3次元化である。これらの4つの円をx軸を軸に360度回転させる。

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4番めの円はトーラスになる。薄く描かれているのが大きな円であり、他の3Dオブジェクトが内接している模樣をあらわす。

 ついで、パップス・チェーンを追加するのだ。

 古代ギリシア幾何学者パップスによる円の連鎖の一例を示す。彼は「古代の定理」と呼んでいたそうである。

 これをx軸に関して回転させれば、トーラスがたくさん巻き付くことになろう。

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てすさびにパップス・チェーンを三次元化して、球の連鎖で表示する。

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 トーラス化したものは下図でありますな。

 あまり美しくはないが試作品であります。トーラスがパップスの円連鎖の回転体である。互いに接し合っているのがミソでありますな。

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2017-05-24 双子素数の現れ方の可視化

双子素数の現れ方の可視化 双子素数の現れ方の可視化を含むブックマーク 双子素数の現れ方の可視化のブックマークコメント

 双子素数はかなりの頻度で出現する。ちなみに双子素数は{3,5}のような隣り合う素数で差が「2」であるものを言う。

 それを可視化してみましょうか。

その考え方はこうだ。

 1番目の素数は2である。3は2番目である。そして、5は3番目である。

この情報より、{3,5}の双子素数は(2,3)と(3,5)という二点を結ぶ線として表象できる。x座標を素数の順番としているわけですな。

 はじめの50個の素数でそれを可視化してみる。横軸は素数の順番であり、y軸は素数そのものである。

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あまり冴えないグラフであるが、双子素数がかなりの頻度で出ているのはわかる。

50個のうち13個が双子素数ペアを形成している。

 1000個の素数双子素数をプロットしてみる。162個ある。

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 例のBrunの定数を計算してもいいが、精度は低いであろう。

むしろ、その変形のΣ(1/p-1/(p+2))を調べてもいいかもしれない。和はずべての双子素数に及ぶ。

 Brunの定数の存在定理はあるが、その数値の精度は時代の変数である。ペンチアムプロセッサのバグ問題(Pentium FDIV バグ)は1994年にこの数値計算の過程で発見されている。


 図示はおいといて、Mathematica双子素数の順番を出すスクリプトをつける。素数1000万個までなら双子素数の番地情報を軽やかに出してくれるだろう。

Flatten[Position[Differences[Table[Prime[k], {k, 1, 50}], 2], 2



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