1850年M.Lebesgueは次のディオファントス方程式について以下のような結果を得ました. 方程式を満たす整数の組はしか存在しない. 以下でこれについて解説していきます. 証明にはガウス整数(,は整数)が一意分解整域であることを用います.これが正しいことは前提としておきます. 方程式の左辺をと因数分解します.ここでとにはガウス整数域で公約数を持たないことを示します.もしとに公約数が存在するなら,それは両者の差の約数でもあります.よって公約数が存在するとしても,それはの因子,すなわちのどちらかであることが分かりました. 今がで割り切れるとします.するとですので,はも割り切ることが分かります.…